Предварительно докажите неравенство: (а-6)^{2}-2

Puteshestvennik

14

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Нам дано неравенство: \((а-6)^2 - 2 \geq 0\).

2. Раскроем квадрат \((а-6)^2\), используя формулу квадрата двучлена: \((a-6)^2 = (a-6) \cdot (a-6) = a^2 - 12a + 36\). Теперь неравенство принимает вид: \(a^2 - 12a + 36 - 2 \geq 0\).

3. Совершим простые арифметические вычисления, чтобы упростить выражение: \(a^2 - 12a + 34 \geq 0\).

4. Теперь давайте проанализируем это квадратное уравнение. У нас есть квадратный трехчлен \(a^2 - 12a + 34\), и мы хотим найти значения \(a\), при которых это выражение больше или равно нулю.

5. Для начала найдем вершину параболы, заданной этим квадратным трехчленом. Формула для координат вершины параболы имеет вид \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты квадратного трехчлена. Здесь \(a = 1\) и \(b = -12\), поэтому \(x = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = 6\). Получаем вершину параболы: \((6, y)\).

6. Теперь рассмотрим два случая: когда парабола направлена вниз и когда парабола направлена вверх.

- Когда парабола направлена вниз, значит, она открывается вниз и значение параболы увеличивается, когда мы двигаемся вправо или влево от вершины. В этом случае парабола не пересекает ось x и, следовательно, всегда остается выше нуля. Таким образом, неравенство \(a^2 - 12a + 34 \geq 0\) выполняется для всех значений \(a\).

- Когда парабола направлена вверх, значит, она открывается вверх и значение параболы уменьшается, когда мы двигаемся вправо или влево от вершины. В этом случае парабола пересекает ось x дважды. Мы можем использовать квадратное уравнение \(x^2 - 12x + 34 = 0\) для нахождения точек пересечения. Но так как мы уже знаем, что неравенство выполняется при всех значениях \(a\), нам не нужно находить точные значения. Мы просто знаем, что они существуют.

7. Итак, в обоих случаях неравенство \(a^2 - 12a + 34 \geq 0\) выполняется для всех значений \(a\).

Таким образом, мы доказали, что неравенство \((а-6)^2 - 2 \geq 0\) справедливо для всех значений \(a\).