Какой самый большой набор двоичных слов длины 10 (последовательности из 10 нулей и единиц) можно собрать так, чтобы

Единорог

58

Для решения этой задачи мы можем использовать метод математической индукции. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1:
Рассмотрим самое короткое двоичное слово длины 1, которое может быть только "0" или "1". В данном случае нет пар выбранных слов, поэтому условие "каждая пара выбранных слов должна отличаться как минимум двумя местами" выполняется.

Шаг 2:
Теперь рассмотрим длину двоичных слов равную 2. Возможные варианты таких слов: "00", "01", "10" и "11". Давайте посмотрим на каждую пару этих слов:
- "00" и "01" отличаются только первым битом, поэтому условие не выполняется.
- "00" и "10" отличаются только вторым битом, поэтому условие не выполняется.
- "00" и "11" отличаются в обоих битах, поэтому условие выполняется.
- "01" и "10" отличаются в обоих битах, поэтому условие выполняется.
- "01" и "11" отличаются только первым битом, поэтому условие не выполняется.
- "10" и "11" отличаются только вторым битом, поэтому условие не выполняется.

Мы видим, что только две пары выбранных слов в этом случае удовлетворяют условию. Поэтому самый большой набор двоичных слов длины 2 состоит из 3 слов: "00", "10" и "11".

Шаг 3:
Теперь рассмотрим длину двоичных слов равную 3. Для удобства, перечислим все возможные слова такой длины: "000", "001", "010", "011", "100", "101", "110" и "111".

Давайте посмотрим на каждую пару этих слов:
- "000" и "001" отличаются только третьим битом, поэтому условие не выполняется.
- "000" и "010" отличаются только вторым битом, поэтому условие не выполняется.
- "000" и "011" отличаются во втором и третьем битах, поэтому условие выполняется.
- "000" и "100" отличаются только первым битом, поэтому условие не выполняется.
- "000" и "101" отличаются в первом и третьем битах, поэтому условие выполняется.
- "000" и "110" отличаются в первом и втором битах, поэтому условие выполняется.
- "000" и "111" отличаются в трех битах, поэтому условие выполняется.
- ... и так далее для всех пар.

Продолжая анализировать все возможные пары, мы видим, что только две пары выбранных слов в этом случае удовлетворяют условию: "000" и "111".

Шаг 4:
Мы можем продолжать этот процесс для больших длин двоичных слов, но можно заметить, что самое большое количество слов, удовлетворяющих условию, будет равно количеству сочетаний из длины слова по два.

Формула для количества сочетаний из n элементов по k равна: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

В нашем случае, количество сочетаний будет равно \(\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45\)

Таким образом, самый большой набор двоичных слов длины 10, удовлетворяющих условию, состоит из 45 слов.

Надеюсь, это решение помогло вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!