Чему равно основание равнобедренного треугольника, если известно, что тангенс угла при его основании равен 3? Требуется

Parovoz

66

Решение:

Для начала, давайте обозначим основание равнобедренного треугольника как \(a\) и два равных боковых отрезка как \(b\). Также обозначим сторону квадрата как \(x\).

Известно, что тангенс угла при основании равен 3. Отсюда мы можем записать:

\[ \tan(\alpha) = \frac{b}{\frac{a}{2}} = 3 \]

где \(\alpha\) - угол при основании треугольника. Разберемся подробнее с тангенсом угла. Тангенс угла - это отношение противоположенного катета к прилежащему. Так как у нас равнобедренный треугольник, то угол при основании равен углу при вершине, и значит, \(\tan(\alpha) = \frac{b}{\frac{a}{2}}\).

Далее, найдем длину стороны квадрата. Мы знаем, что сторона квадрата равна полусумме диагонали треугольника и основания треугольника. Диагональ равнобедренного треугольника можно найти через теорему Пифагора.

Для начала найдем длину высоты треугольника \(h\) с помощью формулы синуса:

\[ \sin(\alpha) = \frac{h}{b} \]

\[ \sin(\alpha) = \frac{h}{b} = \frac{\frac{a}{2}}{b} = \frac{a}{2b} \]

После этого, найдем \(h\) через косинус:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\frac{a}{2}}{h} \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{\frac{a}{2}}{h} = \frac{a}{2h} \]

Так как \(\tan(\alpha) = \frac{b}{\frac{a}{2}} = 3\), а \(\sin(\alpha) = \frac{a}{2b}\) и \(\cos(\alpha) = \frac{a}{2h}\), получаем:

\[ 3 = \frac{a}{2b} \div \frac{a}{2h} = \frac{h}{b} \]

Отсюда получаем:

\[ h = 3b \]

Теперь можем найти длину диагонали через теорему Пифагора:

\[ (a/2)^2 + h^2 = b^2 \]

\[ (\frac{a}{2})^2 + (3b)^2 = b^2 \]

Решим это уравнение относительно \(b\) и найдем значение \(b\). После этого найдем значение \(a\) через уравнение \(\tan(\alpha) = 3 \) и, наконец, найдем сторону квадрата через вышеупомянутую формулу.