Какой угол между прямой мо и плоскостью авс, если длина прямой ma равна 2 см, о-центр правильного треугольника

Roman

15

Для начала, давайте рассмотрим изображение задачи:

\[ \begin{align*}
A & \quad B \\
|\ & \ \,|\ \\
M & \quad S \\
|\ & \ \,|\ \\
O & \quad C \\
| & \quad| \\
+ & \quad+ \\
V & \quad A
\end{align*} \]

Таким образом, у нас есть треугольник \(\triangle ABC\), в котором сторона \(AC\) равна 6 см и \(MO\) перпендикулярна плоскости \(\triangle ABC\). Также, известно, что длина отрезка \(MA\) равна 2 см.

Чтобы найти угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(\triangle ABC\), нужно найти угол \(\angle BAC\).

Для начала, рассмотрим треугольник \(\triangle MAC\). У нас есть две известных стороны, поэтому мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти угол \(\angle BAC\).

Теорема косинусов гласит:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C), \]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, а \(C\) - противолежащий угол к стороне \(c\).

В нашем случае, соответствующие значения:

\[ a = 2 \;\text{см}, \quad b = 6 \;\text{см}, \quad c = 6 \;\text{см}, \quad C = \angle BAC. \]

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ 6^2 = 2^2 + 6^2 - 2 \cdot 2 \cdot 6 \cos(\angle BAC). \]

Упростим это выражение:

\[ 36 = 4 + 36 - 24 \cos(\angle BAC). \]

Вычтем 4 и 36 из обеих сторон:

\[ -4 = -24 \cos(\angle BAC). \]

Разделим обе стороны на -24:

\[ \frac{-4}{-24} = \cos(\angle BAC). \]

Упростим дробь:

\[ \frac{1}{6} = \cos(\angle BAC). \]

Теперь найдем значение угла BAC, где \(0^\circ \leq \angle BAC \leq 180^\circ\). Для этого нам нужно найти обратный косинус от \(\frac{1}{6}\). Используя калькулятор:

\[ \angle BAC = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right) \approx 81.79^\circ. \]

Итак, угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(\triangle ABC\) составляет приблизительно \(81.79^\circ\).