В пирамиде TABC со стороной основания AB равной 2 и высотой TH, равной 2⋅√3, на боковом ребре TA находится точка

Андреевич

67

Для решения этой задачи нам потребуется использовать геометрические свойства пирамиды и отношения площадей фигур.

a) Для начала, найдем площадь треугольника TBC. Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить по формуле S = 0.5 * a * h, где a - длина основания треугольника, h - высота, опущенная на это основание. В данном случае, основание треугольника TBC - это сторона AB пирамиды, длина которой равна 2, а высота TH, равная 2√3, является высотой треугольника TBC. Подставим значения в формулу и вычислим площадь треугольника TBC:

$$S_{\text{TBC}}=0.5\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$

Теперь перейдем к четырехугольнику BCPQ. Поскольку прямоугольная пирамида имеет параллелограммы в основании, четырехугольник BCPQ является параллелограммом. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле S = a * h, где a - длина основания параллелограмма, h - высота, опущенная на это основание. В данном случае, длина основания параллелограмма BCPQ равна длине отрезка BC, а высота параллелограмма - это расстояние между плоскостями ABC и BCD, то есть длина отрезка PH. Зная, что плоскость BCD параллельна плоскости ABC, можем сделать вывод, что треугольники TBC и TPH подобны, так как у них соответствующие углы равны (высота пирамиды является общей) и соответствующие стороны пропорциональны. Используем эти свойства:

$$\frac{BC}{BT}=\frac{PH}{PT}\Rightarrow \frac{BC}{2}=\frac{PH}{2\sqrt{3}}\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{3}}{3}PH$$

Таким образом, длина основания BCPQ равна $\frac{\sqrt{3}}{3}PH$.

Теперь найдем высоту параллелограмма. Мы знаем, что точка K лежит на отрезке TA, причем отношение TK : KA равно 3 : 4. Значит, точка K делит отрезок TA на 7 равных отрезков, поскольку 3 + 4 = 7. Тогда отрезок TK составляет $\frac{3}{7}$ от длины TA, а отрезок KA - $\frac{4}{7}$ от длины TA.

Так как отрезки TB и TC пересекаются с плоскостью, проходящей через точку K, параллельной плоскости ABC, мы можем сказать, что отрезки TP и TQ также являются соответствующими отрезками TK и KA, то есть TP = $\frac{3}{7}$ TA и TQ = $\frac{4}{7}$ TA.

Так как BCPQ - параллелограмм, высотой параллелограмма является расстояние между прямыми PQ и BC, то есть длина отрезка QH. Мы можем представить QH как разность отрезков TQ и TH: QH = TQ - TH = $\frac{4}{7}$ TA - 2√3.

Подставим значения в формулу для площади параллелограмма BCPQ:

$$S_{\text{BCPQ}}=BC\cdot QH=\frac{\sqrt{3}}{3}PH\cdot (\frac{4}{7}TA-2\sqrt{3})$$

Теперь можем вычислить отношение площадей $\frac{S_{\text{BCPQ}}}{S_{\text{TBC}}}$:

$$\frac{S_{\text{BCPQ}}}{S_{\text{TBC}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}PH\cdot (\frac{4}{7}TA-2\sqrt{3})}{2\sqrt{3}}$$

Таким образом, отношение площади четырехугольника BCPQ к площади треугольника TBC равно $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}PH\cdot (\frac{4}{7}TA-2\sqrt{3})}{2\sqrt{3}}$.

б) Чтобы найти объем пирамиды KBCPQ, мы будем использовать формулу V = $\frac{1}{3}{S}_{\text{основания}}\cdot H$, где V - объем пирамиды, $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, H - высота пирамиды.

Поскольку основание пирамиды KBCPQ является параллелограммом, мы уже знаем формулу для площади параллелограмма: $S_{\text{основания}}=\frac{\sqrt{3}}{3}PH\cdot BC$.

Заметим также, что пирамида KBCPQ подобна пирамиде TBC. Это связано с тем, что соотношение длин отрезков TK и KA сохраняется при проходе от пирамиды TABC к пирамиде KBCPQ. Таким образом, отношение объемов пирамид можно выразить как ${\left(\frac{TK}{TK+KA}\right)}^3$.

Подставим значения в формулу для объема пирамиды KBCPQ:

$$V_{\text{KBCPQ}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}PH\cdot BC\cdot {\left(\frac{TK}{TK+KA}\right)}^3$$

Таким образом, объем пирамиды KBCPQ равен $\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}PH\cdot BC\cdot {\left(\frac{TK}{TK+KA}\right)}^3$.