В пирамиде TABC со стороной основания AB равной 2 и высотой TH, равной 2⋅√3, на боковом ребре TA находится точка

Андреевич

67

Для решения этой задачи нам потребуется использовать геометрические свойства пирамиды и отношения площадей фигур.

a) Для начала, найдем площадь треугольника TBC. Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить по формуле S = 0.5 * a * h, где a - длина основания треугольника, h - высота, опущенная на это основание. В данном случае, основание треугольника TBC - это сторона AB пирамиды, длина которой равна 2, а высота TH, равная 2√3, является высотой треугольника TBC. Подставим значения в формулу и вычислим площадь треугольника TBC:

\[S_{\text{TBC}} = 0.5 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\]

Теперь перейдем к четырехугольнику BCPQ. Поскольку прямоугольная пирамида имеет параллелограммы в основании, четырехугольник BCPQ является параллелограммом. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле S = a * h, где a - длина основания параллелограмма, h - высота, опущенная на это основание. В данном случае, длина основания параллелограмма BCPQ равна длине отрезка BC, а высота параллелограмма - это расстояние между плоскостями ABC и BCD, то есть длина отрезка PH. Зная, что плоскость BCD параллельна плоскости ABC, можем сделать вывод, что треугольники TBC и TPH подобны, так как у них соответствующие углы равны (высота пирамиды является общей) и соответствующие стороны пропорциональны. Используем эти свойства:

\[\frac{BC}{BT} = \frac{PH}{PT} \Rightarrow \frac{BC}{2} = \frac{PH}{2\sqrt{3}} \Rightarrow BC = \frac{\sqrt{3}}{3} PH\]

Таким образом, длина основания BCPQ равна \(\frac{\sqrt{3}}{3} PH\).

Теперь найдем высоту параллелограмма. Мы знаем, что точка K лежит на отрезке TA, причем отношение TK : KA равно 3 : 4. Значит, точка K делит отрезок TA на 7 равных отрезков, поскольку 3 + 4 = 7. Тогда отрезок TK составляет \(\frac{3}{7}\) от длины TA, а отрезок KA - \(\frac{4}{7}\) от длины TA.

Так как отрезки TB и TC пересекаются с плоскостью, проходящей через точку K, параллельной плоскости ABC, мы можем сказать, что отрезки TP и TQ также являются соответствующими отрезками TK и KA, то есть TP = \(\frac{3}{7}\) TA и TQ = \(\frac{4}{7}\) TA.

Так как BCPQ - параллелограмм, высотой параллелограмма является расстояние между прямыми PQ и BC, то есть длина отрезка QH. Мы можем представить QH как разность отрезков TQ и TH: QH = TQ - TH = \(\frac{4}{7}\) TA - 2√3.

Подставим значения в формулу для площади параллелограмма BCPQ:

\[S_{\text{BCPQ}} = BC \cdot QH = \frac{\sqrt{3}}{3} PH \cdot \left(\frac{4}{7} TA - 2\sqrt{3}\right)\]

Теперь можем вычислить отношение площадей \(\frac{S_{\text{BCPQ}}}{S_{\text{TBC}}}\):

\[\frac{S_{\text{BCPQ}}}{S_{\text{TBC}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} PH \cdot \left(\frac{4}{7} TA - 2\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{3}}\]

Таким образом, отношение площади четырехугольника BCPQ к площади треугольника TBC равно \(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} PH \cdot \left(\frac{4}{7} TA - 2\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{3}}\).

б) Чтобы найти объем пирамиды KBCPQ, мы будем использовать формулу V = \(\frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot H\), где V - объем пирамиды, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, H - высота пирамиды.

Поскольку основание пирамиды KBCPQ является параллелограммом, мы уже знаем формулу для площади параллелограмма: \(S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{3} PH \cdot BC\).

Заметим также, что пирамида KBCPQ подобна пирамиде TBC. Это связано с тем, что соотношение длин отрезков TK и KA сохраняется при проходе от пирамиды TABC к пирамиде KBCPQ. Таким образом, отношение объемов пирамид можно выразить как \(\left(\frac{TK}{TK+KA}\right)^3\).

Подставим значения в формулу для объема пирамиды KBCPQ:

\[V_{\text{KBCPQ}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} PH \cdot BC \cdot \left(\frac{TK}{TK+KA}\right)^3\]

Таким образом, объем пирамиды KBCPQ равен \(\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} PH \cdot BC \cdot \left(\frac{TK}{TK+KA}\right)^3\).