Какой угол образуется между диагональю куба и плоскостью его основания, если длина ребра куба составляет 4 м?

Sherlok

54

Для решения данной задачи, давайте посмотрим на куб и нарисуем небольшую схему для наглядности.

A ____________________ B
/ /|
/ / |
/ / |
/_________________/
C

Пусть ребро куба будет обозначено буквой "a". То есть, a = 4 м. Обозначим середину ребра AB точкой M. Так как М – это середина стороны AB, то AM = MB = 2 м. Пусть точка K будет серединой диагонали AC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник MKC. Он прямоугольный, так как стороны MK и KC являются радиусами основания и высотами соответственно.
Мы знаем, что радиус основания равен половине длины ребра куба, то есть KC = a/2 = 4/2 = 2 м. Радиус основания MK равен AM, что равно 2 м.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника MKC.
Возведем в квадрат длины сторон MK и KC, а затем их сложим:

MK^2 = AM^2 + AK^2
KC^2 = CK^2 + AK^2

MK^2 + KC^2 = AM^2 + AK^2 + CK^2 + AK^2

Так как AM = MK и CK = KC, то эти значения можно заменить:

2 * MK^2 = 2 * AK^2 + 2 * KC^2

Теперь подставим значения MK = AM = 2 м и KC = 2 м:

2 * (2^2) = 2 * AK^2 + 2 * (2^2)

8 = 2 * AK^2 + 8

2 * AK^2 = 8

AK^2 = 8 / 2

AK^2 = 4

Теперь найдем длину стороны AK, возведя AK^2 в квадрат:

AK = √4

AK = 2

Таким образом, получаем, что длина стороны AK равна 2 м.

Нам нужно найти угол AMP, где P - это пересечение диагонали AC с плоскостью основания ABCD.

Для этого мы можем использовать теорему косинусов. Вспомним, что в треугольниках косинус угла равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе.

В нашем случае, прилежащей стороной является 2 (сторона AM) и гипотенузой является 4 (сторона AK). Нам нужно найти косинус угла AMP:

cos(AMP) = AM / AK
cos(AMP) = 2 / 4
cos(AMP) = 1 / 2

Теперь найдем значение угла AMP. Для этого воспользуемся функцией арккосинуса arccos:

AMP = arccos(1 / 2)

Используя калькулятор, находим значение arccos(1 / 2), и получаем:

AMP ≈ 60°

Ответ: Угол, образуемый между диагональю куба и плоскостью его основания, составляет примерно 60°.