Какой угол образуют прямые AB и CD, если A(1; 1 ; 5 ), С(8 ; 5 ; 5 ), В(4; 7; 5), D(5;-1 ;5)?

Alina

18

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о векторах и их свойствах.

Вектором AB называется вектор, который направлен из точки A в точку B. Аналогично, вектором CD называется вектор, который направлен из точки C в точку D.

Чтобы найти угол между двумя векторами, можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}}\)

Где \(\theta\) - искомый угол, \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) - соответственно векторы AB и CD, \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{CD}|\) - длины этих векторов.

Давайте выполним расчёты:

1. Найдём векторы AB и CD:
\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (4; 7; 5) - (1; 1; 5) = (3; 6; 0)\)
\(\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (5; -1; 5) - (8; 5; 5) = (-3; -6; 0)\)

2. Найдём длины векторов:
\(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36 + 0} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36 + 0} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

3. Найдём скалярное произведение векторов:
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 3 \cdot (-3) + 6 \cdot (-6) + 0 \cdot 0 = -9 - 36 + 0 = -45\)

4. Подставим полученные значения в формулу:
\(\cos(\theta) = \frac{-45}{{3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}}} = \frac{-45}{45} = -1\)

5. Теперь найдём значение угла \(\theta\) с помощью арккосинуса:
\(\theta = \arccos(-1) = 180^\circ\)

Таким образом, угол между прямыми AB и CD составляет 180 градусов (или \(\pi\) радиан).