Какой угол образуют прямые AB и CD, если координаты точек A (корень 3, 1, 0), С (0, 2, 0), B (0, 0, 2 корень

Сверкающий_Джентльмен

47

Для решения этой задачи, давайте сначала найдем векторы, которые определяют прямые AB и CD. Затем мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами.

Вектор AB можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки B:

\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)

Также вектор CD можно получить, вычтя координаты точки C из координат точки D:

\(\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C}\)

Для начала найдем координаты векторов:

\(\vec{AB} = (0, 0, 2\sqrt{2}) - (\sqrt{3}, 1, 0)\\
= (-\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2})\)

\(\vec{CD} = (\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{2}) - (0, 2, 0)\\
= (\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2})\)

Теперь, чтобы найти угол между прямыми AB и CD, нам нужно найти косинус угла между этими векторами, и затем применить обратную косинусную функцию.

Формула для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}}{{\|\vec{AB}\| \|\vec{CD}\|}}\)

где \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\) - скалярное произведение векторов AB и CD,
\(\|\vec{AB}\|\) и \(\|\vec{CD}\|\) - длины этих векторов.

Подставляя значения:

\(\cos(\theta) = \frac{{(-\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2})}}{{\|(-\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2})\| \|\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2}\|}}\)

Теперь рассчитаем значения:

\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (-1)(-1) + (2\sqrt{2})(2\sqrt{2})\\
= -3 + 1 + 8\\
= 6\)

\(\|(-\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2})\| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (2\sqrt{2})^2}\\
= \sqrt{3 + 1 + 8}\\
= \sqrt{12}\\
= 2\sqrt{3}\)

\(\|\sqrt{3}, -1, 2\sqrt{2}\| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (2\sqrt{2})^2}\\
= \sqrt{3 + 1 + 8}\\
= \sqrt{12}\\
= 2\sqrt{3}\)

Теперь подставляем значения обратно в формулу:

\(\cos(\theta) = \frac{{6}}{{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}}}\\
= \frac{{6}}{{12}}\\
= \frac{1}{2}\)

Теперь применяем обратную косинусную функцию для нахождения угла:

\(\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\\
= \frac{\pi}{3}\)

Таким образом, угол между прямыми AB и CD равен \(\frac{\pi}{3}\) или 60 градусов.