1) Постройте графы отношений «меньше», «удвоено меньше» и «уменьшено на 2», если они заданы на множестве А = {0

Dobryy_Ubiyca_2339

16

Хорошо, давайте решим эти задачи по очереди.

1) Для начала построим граф отношения "меньше" на множестве А = {0, 2, 4, 6, 8}. Граф отношения показывает, какие элементы множества связаны этим отношением. Если элемент a связан с элементом b отношением "меньше", то стрелка направлена от a к b.

Граф отношения "меньше":
0 -> 2 -> 4 -> 6 -> 8

Теперь построим граф отношения "удвоено меньше". Это отношение означает, что каждый элемент множества удвоенный меньше другого элемента. Например, если x связан с y отношением "удвоено меньше", то 2x < y.

Граф отношения "удвоено меньше":
0 -> 4 -> 8

Наконец, построим граф отношения "уменьшено на 2". Здесь каждый элемент множества уменьшенный на 2 связан с элементом, который больше него на 2. То есть, если x связан с y отношением "уменьшено на 2", то x-2 < y.

Граф отношения "уменьшено на 2":
0 -> 2 -> 4 -> 6 -> 8

Свойства этих отношений:

Отношение "меньше":
- Рефлексивность: каждый элемент множества А связан сам с собой.
- Антисимметричность: если элемент a связан с элементом b, и при этом a ≠ b, то элемент b не связан с элементом a.
- Транзитивность: если элемент a связан с элементом b, и элемент b связан с элементом c, то элемент a связан с элементом c.

Отношение "удвоено меньше":
- Рефлексивность: каждый элемент удвоенного множества А связан сам с собой.
- Антисимметричность: если элемент a связан с элементом b, и при этом a ≠ b, то элемент b не связан с элементом a.
- Транзитивность: если элемент a связан с элементом b, и элемент b связан с элементом c, то элемент a связан с элементом c.

Отношение "уменьшено на 2":
- Рефлексивность: каждый элемент множества А связан сам с собой.
- Антисимметричность: если элемент a связан с элементом b, и при этом a ≠ b, то элемент b не связан с элементом a.
- Транзитивность: если элемент a связан с элементом b, и элемент b связан с элементом c, то элемент a связан с элементом c.

2) Теперь рассмотрим свойства отношений, определенных на множестве натуральных чисел N:

а) Отношение "больше или равно". Это отношение говорит о том, что каждый элемент больше или равен другому элементу. Обозначается символом \(\geq\).

Свойства отношения "больше или равно":
- Рефлексивность: каждый элемент связан сам с собой.
- Антисимметричность: если элемент a связан с элементом b и a = b, то элемент b также связан с элементом a.
- Транзитивность: если элемент a связан с элементом b, и элемент b связан с элементом c, то элемент a связан с элементом c.

б) Отношение "больше на 3". Здесь каждый элемент связан с элементом, который больше его на 3.

Свойства отношения "больше на 3":
- Рефлексивность: каждый элемент связан сам с собой.
- Антисимметричность: если элемент a связан с элементом b и a = b, то элемент b также связан с элементом a.
- Транзитивность: если элемент a связан с элементом b, и элемент b связан с элементом c, то элемент a связан с элементом c.

в) Отношение "больше в 3 раза". Здесь каждый элемент связан с элементом, который больше его в 3 раза.

Свойства отношения "больше в 3 раза":
- Рефлексивность: каждый элемент связан сам с собой.
- Антисимметричность: если элемент a связан с элементом b и a = b, то элемент b также связан с элементом a.
- Транзитивность: если элемент a связан с элементом b, и элемент b связан с элементом c, то элемент a связан с элементом c.

3) Наконец, рассмотрим отношения, определенные на множестве множеств отрезков Х:

а) Отношение "х равно у". Это отношение связывает каждый элемент множества Х с самим собой.

Отношение "х равно у" является отношением порядка на множестве отрезков Х.

б) Отношение "х длиннее у". Это отношение связывает элементы множества Х таким образом, что каждый элемент является длиннее другого элемента.

Отношение "х длиннее у" также является отношением порядка на множестве отрезков Х.

в) Отношение "х короче у на 2см". Это отношение связывает элементы множества Х таким образом, что каждый элемент является короче другого элемента на 2 см.

Отношение "х короче у на 2см" является отношением порядка на множестве отрезков Х.

г) Отношение "х длиннее у в 3 раза". Здесь каждый элемент множества Х связан с элементом, который длиннее его в 3 раза.

Отношение "х длиннее у в 3 раза" также является отношением порядка на множестве отрезков Х.

Все эти отношения являются отношениями порядка на множестве отрезков Х. Они удовлетворяют свойствам рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, что делает их отношениями порядка.