Какой угол образуют вектора BD в квадрате ABCD?

Пятно

60

Чтобы найти угол, образуемый векторами BD в квадрате ABCD, мы можем использовать свойства геометрических фигур и находить необходимую информацию с шагами.

Шаг 1: Изначально, нам понадобятся некоторые свойства квадрата. Квадрат ABCD является прямоугольником, в котором все стороны равны и все углы прямые (равны 90 градусам).

Шаг 2: Векор BD является вектором между точками B и D. Чтобы найти этот вектор, нам нужно вычесть координаты точки B [\(x_b, y_b\)] из координат точки D [\(x_d, y_d\)].

Шаг 3: Зная координаты точек B и D, вычитаем соответствующие значения, чтобы получить вектор BD. Используя формулы координатных разностей, получаем:
\[BD = (x_d - x_b, y_d - y_b)\]

Шаг 4: Рассмотрим квадрат ABCD. Найдем координаты точек B и D. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Координаты точек B и D будут:
\(B(0, 0)\) и \(D(a, a)\).

Шаг 5: Подставим координаты точек B и D в формулу из шага 3:
\[BD = (a - 0, a - 0) = (a, a)\]

Шаг 6: У нас есть вектор BD, равный \((a, a)\). Чтобы найти угол, образуемый этим вектором, можно использовать формулу скалярного произведения векторов:
\[\text{{cos}}(\theta) = \frac{{\text{{BD}} \cdot \text{{AC}}}}{{|\text{{BD}}| \cdot |\text{{AC}}|}}\]

Здесь BD обозначает вектор BD и AC обозначает вектор AC. |\text{{BD}}| и |\text{{AC}}| - это длины векторов BD и AC соответственно.

Шаг 7: Найдем вектор AC. Обратите внимание, что противоположные стороны квадрата являются равными и параллельными. Таким образом, мы знаем, что вектор AC также будет равен \((a, a)\).

Шаг 8: Подставим значения в формулу скалярного произведения:
\(\text{{cos}}(\theta) = \frac{{(a, a) \cdot (a, a)}}{{|(a, a)| \cdot |(a, a)|}}\)

Шаг 9: Упростим выражение:
\(\text{{cos}}(\theta) = \frac{{a \cdot a + a \cdot a}}{{\sqrt{a^2 + a^2} \cdot \sqrt{a^2 + a^2}}}\)

Шаг 10: Продолжим упрощение:
\(\text{{cos}}(\theta) = \frac{{2a^2}}{{2(a^2 + a^2)}}\)

Шаг 11: Упростим еще больше:
\(\text{{cos}}(\theta) = \frac{{2a^2}}{{4a^2}} = \frac{1}{2}\)

Шаг 12: Мы вычислили cos(θ) и теперь мы можем найти угол, используя обратную функцию косинуса:
\(\theta = \text{{arccos}}\left(\frac{1}{2}\right)\)

Шаг 13: Результатом будет угол в радианах. Чтобы перевести его в градусы, нужно умножить на \(180/\pi\):
\(\theta = \text{{arccos}}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 60^\circ\)

Таким образом, угол, образуемый векторами BD в квадрате ABCD, составляет приблизительно 60 градусов.