Какой угол образуют векторы а(4; 7) и b(11

Яхонт

57

Для решения этой задачи нам понадобится формула для нахождения угла между двумя векторами:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}}\]

Где \(\theta\) - искомый угол, \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - векторы, \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - скалярное произведение векторов, \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - длины векторов.

Давайте применим эту формулу к нашей задаче.

Для начала вычислим скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\):

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4 \cdot 11) + (7 \cdot 2) = 44 + 14 = 58\)

Теперь найдем длины векторов \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\):

\(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\)

\(\|\mathbf{b}\| = \sqrt{11^2 + 2^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125}\)

Теперь мы можем вычислить косинус угла \(\theta\):

\(\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}} = \frac{{58}}{{\sqrt{65} \cdot \sqrt{125}}}\)

Это число равно примерно 0.927, но нам больше интересен сам угол \(\theta\).

Чтобы найти угол, мы можем использовать обратную функцию косинуса. Обозначим \(\cos^{-1}\) как функцию обратного косинуса. Тогда:

\(\theta = \cos^{-1}(0.927)\)

Точное значение этого угла можно найти, используя калькулятор с функциями тригонометрии. Значение будет примерно равно 22.65 градусам.

Таким образом, угол между векторами \(\mathbf{a}(4; 7)\) и \(\mathbf{b}(11; 2)\) составляет около 22.65 градусов.