Какой является момент инерции Jz маховика (сплошного диска), если приложена сила натяжения F = 1 кН на трос, намотанный

Оксана_1947

20

Момент инерции \(J_z\) маховика (сплошного диска) можно вычислить с использованием закона сохранения момента импульса.

Сила натяжения \(F\), действующая на трос, создает момент силы \(M\), который вызывает изменение угловой скорости маховика. Сила натяжения \(F\) пропорциональна радиусу \(R\) маховика и угловой скорости \(\omega\) маховика. Таким образом, мы можем записать:

\[F = -M = -J_z \frac{d\omega}{dt}\]

где \(\frac{d\omega}{dt}\) - производная угловой скорости по времени.

В данной задаче известно, что \(F = 1 \, \text{кН} = 1000 \, \text{Н}\), \(t = 15 \, \text{с}\), и маховик изменяет свою угловую скорость с \(\omega_0 = 0\) до \(\omega = 30 \, \text{рад/с}\). Диаметр маховика \(D = 50 \, \text{см}\).

Сначала найдем радиус маховика:

\[R = \frac{D}{2} = \frac{50 \, \text{см}}{2} = 25 \, \text{см} = 0.25 \, \text{м}\]

Далее, для решения задачи, необходимо воспользоваться интегрированием:

\[-\int_{\omega_0}^{\omega} \frac{M}{J_z} d\omega = \int_{0}^{t} dt\]

\[-\int_{0}^{\omega} \frac{M}{J_z} d\omega = t\]

\[-\frac{1}{J_z} \int_{0}^{\omega} M d\omega = t\]

\[-\frac{1}{J_z} \int_{0}^{\omega} FR d\omega = t\]

Так как \(FR\) постоянно в данной задаче, то мы можем записать:

\[-\frac{1}{J_z} FR \int_{0}^{\omega} d\omega = t\]

\[-\frac{1}{J_z} FR (\omega - \omega_0) = t\]

Подставив значения из условия задачи:

\[-\frac{1}{J_z} \times 1000 \, \text{Н} \times 0.25 \, \text{м} \times (30 \, \text{рад/с} - 0) = 15 \, \text{с}\]

Решая данное уравнение относительно \(J_z\), получим:

\[J_z = \frac{-\frac{1}{J_z} \times 1000 \, \text{Н} \times 0.25 \, \text{м} \times (30 \, \text{рад/с})}{-15 \, \text{с}}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[J_z = 125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Таким образом, момент инерции \(J_z\) маховика (сплошного диска), приложенного к данной задаче, равен \(125 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\).