Какой заряд имеют два одинаковых заряженных шарика, свисающих на нитях одинаковой длины (l = 47 см) под углом

Emiliya

35

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы электростатики. Заряды шариков можно определить, используя формулу для электростатической силы между двумя точечными зарядами:

\[F = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r^2}\]

Где \(F\) - электростатическая сила, \(k\) - постоянная Кулона (\(k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q_1\) и \(q_2\) - заряды шариков, \(r\) - расстояние между ними.

Но чтобы использовать эту формулу, нам сначала нужно найти предельный угол отклонения для нитей. Из геометрии мы знаем, что для устойчивого равновесия подвеса маятника, длина нити и смещения должны быть связаны следующим образом:

\[l = \frac{\theta}{180} \cdot \pi \cdot R\]

Где \(l\) - длина нити, \(\theta\) - угол отклонения в радианах, \(R\) - радиус окружности, в которой колеблются шарики.

Мы знаем, что угол отклонения равен 90 градусам (\(\frac{\pi}{2}\)), поэтому мы можем использовать эту формулу, чтобы найти радиус \(R\):

\[R = \frac{l}{\frac{\pi}{2}} = \frac{4l}{\pi}\]

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем найти силу \(F\) и заряды \(q_1\) и \(q_2\). Обратите внимание, что значение силы \(F\), действующей на каждый шарик, будет равно силе натяжения нити, которая состоит из двух компонентов: горизонтальной и вертикальной.

Мы можем найти горизонтальную и вертикальную силы, используя закон синусов и закон косинусов:

\[F_H = T \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = T\]
\[F_V = T \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) = 0\]

Где \(T\) - сила натяжения нити. Таким образом, мы видим, что вертикальная компонента силы равна нулю, поскольку нить направлена вертикально вниз.

Теперь мы можем использовать эти формулы, чтобы найти заряды шариков \(q_1\) и \(q_2\). Поскольку сила натяжения нити является центростремительной силой, она равна массе шарика, умноженной на его радиус обращенный в квадрат:

\[T = m \cdot g = \frac{m \cdot v^2}{R}\]

Где \(m\) - масса шарика (\(2 \, \text{г}\)), \(g\) - ускорение свободного падения (\(9.8 \, \text{м/с}^2\)), \(v\) - скорость шарика, \(R\) - радиус окружности, по которой оно движется.

Очевидно, что скорость шарика можно найти из формулы окружности:

\[v = \frac{2\pi R}{T}\]

Подставив все значения, мы можем найти силу натяжения нити \(T\):

\[T = \frac{m \cdot v^2}{R} = \frac{m \cdot (\frac{2\pi R}{T})^2}{R}\]

Упростив это уравнение, мы получим:

\[T = \frac{4\pi^2 \cdot m}{T}\]

Решим это уравнение для силы натяжения нити \(T\):

\[T^2 = 4\pi^2 \cdot m\]
\[T^2 = 4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.002\]
\[T = \sqrt{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.002}\]
\[T \approx 0.079 \, \text{Н}\]

Теперь, имея значение силы натяжения нити \(T\), мы можем использовать его, чтобы найти заряды шариков \(q_1\) и \(q_2\). Мы знаем, что сила электростатического взаимодействия между двумя шариками равна силе натяжения нити:

\[F = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r^2} = T\]

Определим радиус окружности \(r\) с помощью теоремы Пифагора:

\[r = \sqrt{R^2 + l^2}\]

Подставив значения исходных данных, мы можем решить это уравнение для зарядов шариков \(q_1\) и \(q_2\):

\[\frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{(R^2 + l^2)} = T\]
\[q_1 \cdot q_2 = \frac{T \cdot (R^2 + l^2)}{k}\]
\[q_1 \cdot q_2 = \frac{0.079 \cdot ((\frac{4 \cdot 0.47}{\pi})^2 + 0.47^2)}{8.99 \times 10^9}\]
\[q_1 \cdot q_2 \approx 7.51 \times 10^{-9} \, \text{Кл}^2\]

Теперь нам нужно найти каждый заряд отдельно. Поскольку оба шарика имеют одинаковый заряд, мы можем рассматривать только один из них. Таким образом, мы можем записать:

\[q_1 \cdot q_1 = 7.51 \times 10^{-9} \, \text{Кл}^2\]
\[q_1^2 = 7.51 \times 10^{-9} \, \text{Кл}^2\]
\[q_1 = \sqrt{7.51 \times 10^{-9}} \, \text{Кл}\]
\[q_1 \approx 8.663 \times 10^{-5} \, \text{Кл}\]

Таким образом, каждый из шариков имеет заряд около \(8.663 \times 10^{-5} \, \text{Кл}\). Это и есть ответ на задачу. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.