Какой знаменатель прогрессии, если сумма первых четырех членов прогрессии в 16 раз меньше, чем сумма следующих четырех

Sambuka_1195

55

Для решения этой задачи, давайте вначале определим, что такое арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Пусть \(a\) - первый член прогрессии, а \(d\) - разность прогрессии.

Тогда первые четыре члена прогрессии можно записать следующим образом:
\[a, a+d, a+2d, a+3d\]

А следующие четыре члена прогрессии:
\[a+4d, a+5d, a+6d, a+7d\]

Сумма первых четырех членов прогрессии равна:
\[S_1 = (a) + (a+d) + (a+2d) + (a+3d)\]

Сумма следующих четырех членов прогрессии равна:
\[S_2 = (a+4d) + (a+5d) + (a+6d) + (a+7d)\]

Дано, что сумма первых четырех членов прогрессии в 16 раз меньше, чем сумма следующих четырех членов. Это можно записать в виде уравнения:
\[S_1 = \frac{1}{16} \cdot S_2\]

Заменим значения \(S_1\) и \(S_2\) и решим уравнение.

\[(a) + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) = \frac{1}{16} \cdot [(a+4d) + (a+5d) + (a+6d) + (a+7d)]\]

Упростим уравнение:
\[4a + 6d = \frac{1}{16} \cdot (16a + 22d)\]

Сократим на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[8a + 12d = 16a + 22d\]

Теперь выражаем одну переменную через другую:
\[10d = 8a\]
\[5d = 4a\]

Нас просят найти знаменатель прогрессии, то есть значение \(d\). Мы уже знаем, что \(5d = 4a\), поэтому:
\[d = \frac{4a}{5}\]

Ответ: Знаменатель прогрессии равен \(d = \frac{4a}{5}\).