Какую дополнительную скорость нужно мгновенно передать космическому кораблю, движущемуся по круговой орбите вокруг

Magiya_Reki

40

Для того чтобы понять, какую дополнительную скорость нужно передать космическому кораблю, чтобы он покинул поле гравитационного притяжения Земли, мы можем использовать законы гравитационного взаимодействия и законы движения тел.

Допустим, масса Земли равна \(M\), радиус Земли равен \(R\), а радиус орбиты космического корабля равен \(r\), который в данной задаче равен \(2,5R\). Предположим, что скорость космического корабля в его орбите до начала подачи дополнительной скорости равна \(V_0\).

Для того чтобы оценить, какую дополнительную скорость нужно передать космическому кораблю, чтобы он покинул поле гравитационного притяжения Земли, мы можем использовать энергетический подход.

Космический корабль движется по круговой орбите, значит, его кинетическая энергия и потенциальная энергия сохраняются.

Кинетическая энергия космического корабля равна:
\[K = \frac{1}{2} m v^2\]
где \(m\) - масса космического корабля, а \(v\) - его скорость.

Потенциальная энергия космического корабля в гравитационном поле Земли равна:
\[U = - \frac{G M m}{r}\]
где \(G\) - гравитационная постоянная.

Сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной:
\[K + U = \text{const}\]

Так как радиус орбиты космического корабля в eta раз больше радиуса Земли (\(r = 2,5R\)), потенциальная энергия запишется как:
\[U = - \frac{G M m}{2,5R}\]

Поскольку энергия сохраняется, мы можем записать:
\[\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{2,5R} = \text{const}\]

Теперь давайте рассмотрим энергетическое состояние космического корабля до и после добавления дополнительной скорости. Пусть после добавления дополнительной скорости его новая скорость будет \(v"\). Это позволит кораблю покинуть поле гравитационного притяжения Земли.

Предполагая, что масса космического корабля не изменяется (что является разумным предположением), мы можем записать выражение для энергии после добавления дополнительной скорости:
\[\frac{1}{2} m (v")^2 - \frac{G M m}{2,5R} = \text{const}\]

Теперь нам нужно найти разницу между этими двумя состояниями энергии. Вычитая первое выражение из второго, получаем:
\[\frac{1}{2} m (v")^2 - \frac{G M m}{2,5R} - \left(\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{2,5R}\right) = \frac{1}{2} m (v")^2 - \frac{1}{2} m v^2\]
\[= \frac{1}{2} m [(v")^2 - v^2]\]

Запишем это равенство в виде уравнения:
\[\frac{1}{2} m [(v")^2 - v^2] = \text{const}\]

Теперь преобразуем это уравнение, чтобы решить относительно \(v"\):
\[(v")^2 - v^2 = \frac{{2 \cdot \text{const}}}{{m}}\]

Нам известно, что константа равна нулю на орбите, в то время как для покидания поле гравитационного притяжения Земли, дополнительная скорость должна быть положительной (\(v" > v\)). Поэтому константа равна положительному числу.

Таким образом, можем записать уравнение:
\[(v")^2 - v^2 = \Delta\]

где \(\Delta\) - некоторое положительное число.

Теперь можно решить это уравнение относительно \(v"\):
\[(v")^2 = v^2 + \Delta\]
\[v" = \sqrt{v^2 + \Delta}\]

Таким образом, чтобы космический корабль покинул поле гравитационного притяжения Земли, нужно мгновенно передать ему дополнительную скорость, равную \(\sqrt{v^2 + \Delta}\), где \(v\) - скорость космического корабля до добавления дополнительной скорости, а \(\Delta\) - некоторая положительная константа, зависящая от энергетического состояния космического корабля.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как получить необходимую дополнительную скорость для покидания поле гравитационного притяжения Земли. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!