Какую дробь можно записать, если числитель будет наибольшим общим делителем чисел 84 и 144, а знаменатель - наименьшим

Радужный_Лист

62

Чтобы найти такую дробь, нам нужно вычислить как наибольший общий делитель (НОД) чисел 84 и 144, так и наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Первым делом найдем НОД 84 и 144. Существует несколько способов найти НОД, но один из наиболее эффективных методов - это использование алгоритма Евклида.

Алгоритм Евклида начинается с двух заданных чисел, в нашем случае 84 и 144. Мы находим остаток от деления большего числа (144) на меньшее число (84). В этом случае:

\[144 \div 84 = 1 \, \text{с остатком} \, 60.\]

Теперь мы берем меньшее число (84) и делим его на полученный остаток (60):

\[84 \div 60 = 1 \, \text{с остатком} \, 24.\]

Затем продолжаем процесс, деля полученный остаток (60) на остаток от предыдущего шага (24):

\[60 \div 24 = 2 \, \text{с остатком} \, 12.\]

Продолжаем до тех пор, пока не получим остаток 0:

\[24 \div 12 = 2 \, \text{с остатком} \, 0.\]

Когда мы получаем остаток 0, это означает, что последнее деление было точным без остатка. Наибольший общий делитель (НОД) равен последнему ненулевому остатку, в нашем случае 12.

Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 84 и 144, используя их НОД. Нам понадобится формула:

\[\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}.\]

Подставим значения:

\[\text{НОК}(84, 144) = \frac{84 \cdot 144}{12} = 7 \cdot 12 \cdot 12 = 1008.\]

Таким образом, мы нашли, что НОД чисел 84 и 144 равен 12, а НОК равен 1008.

Теперь мы можем записать дробь с наибольшим общим делителем числителем и наименьшим общим кратным знаменателем:

\[\frac{12}{1008}.\]

Получили дробь, удовлетворяющую условиям задачи.