Какую дробь представить в виде 7/b+7+b2+49/b2-49-7/b-7: b+1/2?

Космос

43

Чтобы решить данную задачу, мы должны представить исходную дробь в виде суммы простых дробей. Давайте разложим дробь на простые слагаемые, используя метод неопределенных коэффициентов.

Исходная дробь: \(\frac{7}{b}+\frac{7+b^2+49}{b^2-49}-\frac{7}{b-7}\cdot\frac{b+1}{2}\)

Сначала рассмотрим первое слагаемое \(\frac{7}{b}\). Данное выражение уже является простой дробью, и его мы не трогаем.

Теперь рассмотрим второе слагаемое \(\frac{7+b^2+49}{b^2-49}\). Для начала проверим, является ли знаменатель \(b^2 - 49\) разложимым на линейные множители. Мы видим, что это разность квадратов, поэтому можем записать \(b^2 - 49 = (b+7)(b-7)\).

Теперь разложим числитель \(7+b^2+49\) на простые дроби. Представим его в виде \(A + B\), где \(A\) и \(B\) - это неизвестные коэффициенты, которые мы должны определить.

\(7+b^2+49 = A(b-7) + B(b+7)\)

Раскрываем скобки:

\(7+b^2+49 = (A+B)b + (-7A+7B)\)

Таким образом, у нас получится система уравнений:

\(A + B = 1\) - коэффициент при \(b\)

\(-7A+7B = 56\) - свободный член

Решим данную систему уравнений методом подстановки или методом сложения:

Из первого уравнения получаем \(A = 1 - B\). Подставляем это значение во второе уравнение:

\(-7(1-B)+7B=56\)

\(-7+7B+7B=56\)

\(14B = 63\)

\(B = \frac{9}{2}\)

Подставляем \(B\) обратно в первое уравнение, чтобы найти \(A\):

\(A = 1 - \frac{9}{2}\)

\(A = -\frac{7}{2}\)

Итак, числитель \(7+b^2+49\) можно разложить на простые дроби следующим образом:

\(7+b^2+49 = -\frac{7}{2}(b-7) + \frac{9}{2}(b+7)\)

Теперь рассмотрим третье слагаемое \(-\frac{7}{b-7}\cdot\frac{b+1}{2}\). Мы видим, что здесь также присутствует произведение двух простых дробей. Упростим его:

\(-\frac{7}{b-7}\cdot\frac{b+1}{2} = -\frac{7(b+1)}{2(b-7)}\)

Теперь, когда мы разложили каждое слагаемое на простые дроби, объединим их в одну дробь:

\(\frac{7}{b}+\frac{7+b^2+49}{b^2-49}-\frac{7}{b-7}\cdot\frac{b+1}{2} = \frac{7}{b} - \frac{7}{b-7}\cdot\frac{b+1}{2} + \frac{-\frac{7}{2}(b-7) + \frac{9}{2}(b+7)}{b^2-49}\)

Теперь, чтобы сложить дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Исходя из разложений, общим знаменателем будет \(b(b-7)(b+7)\). Приведем каждое слагаемое к этому знаменателю:

\(\frac{7}{b} - \frac{7}{b-7}\cdot\frac{b+1}{2} + \frac{-\frac{7}{2}(b-7) + \frac{9}{2}(b+7)}{b^2-49} = \frac{7(b-7)(b+7)}{b(b-7)(b+7)} - \frac{7(b+1)}{2(b-7)} + \frac{-\frac{7}{2}(b-7) + \frac{9}{2}(b+7)}{(b+7)(b-7)}\)

Теперь объединим числители под одним знаком:

\(\frac{7(b-7)(b+7)-7(b+1)(b+7) + (-\frac{7}{2}(b-7) + \frac{9}{2}(b+7))}{b(b-7)(b+7)}\)

Далее проведем необходимые операции с каждым слагаемым числителя:

\(7(b-7)(b+7)-7(b+1)(b+7) + (-\frac{7}{2}(b-7) + \frac{9}{2}(b+7))\)

\(= 7(b^2-49)-(7(b+1)(b+7)) + (-\frac{7}{2}(b-7) + \frac{9}{2}(b+7))\)

\(= 7b^2-343 - (7b^2+56b+49) - (\frac{7}{2}b-\frac{49}{2} + \frac{9}{2}b+\frac{63}{2})\)

После проведения всех вычислений, числитель примет вид:

\(= 7b^2-343 - (7b^2+56b+49) - (\frac{7}{2}b-\frac{49}{2} + \frac{9}{2}b+\frac{63}{2})\)

\(= 7b^2-343 - 7b^2-56b-49 - \frac{7}{2}b+\frac{49}{2} - \frac{9}{2}b-\frac{63}{2}\)

\(= 7b^2 - 7b^2 - \frac{7}{2}b - \frac{9}{2}b - 56b + \frac{49}{2} - \frac{63}{2} - 343 - 49\)

\(= -23b - \frac{315}{2} - 392\)

\(= -23b - \frac{315}{2} - \frac{784}{2}\)

\(= -23b - \frac{315+784}{2}\)

\(= -23b - \frac{1099}{2}\)

Итак, исходная дробь \(\frac{7}{b}+\frac{7+b^2+49}{b^2-49}-\frac{7}{b-7}\cdot\frac{b+1}{2}\) в итоге приводится к виду:

\(\frac{-23b - \frac{1099}{2}}{b(b-7)(b+7)}\)