Какую изменение скорости необходимо внести в движение искусственного спутника по круговой орбите Земли, чтобы

Dozhd

38

Для решения этой задачи нам понадобится использовать законы сохранения энергии и момента импульса. Давайте начнем с расчета изменения радиуса орбиты.

Пусть исходный радиус орбиты \( r_1 \), а конечный радиус орбиты \( r_2 \). Мы знаем, что \( r_2 = 2 \cdot r_1 \).

Согласно закону сохранения энергии, энергия системы должна быть постоянной. В данном случае, когда нет других сил, кроме гравитационной, действующей между Землей и спутником, мы можем сказать, что полная механическая энергия системы равна сумме кинетической энергии спутника и его потенциальной энергии на разных орбитах.

На орбите с радиусом \( r_1 \) кинетическая энергия спутника можно записать как:

\[ E_{\text{кин1}} = \frac{1}{2} m v_1^2, \]

где \( m \) - масса спутника, \( v_1 \) - скорость спутника на исходной орбите.

Аналогично, на орбите с радиусом \( r_2 \) кинетическая энергия спутника будет:

\[ E_{\text{кин2}} = \frac{1}{2} m v_2^2, \]

где \( v_2 \) - скорость спутника на конечной орбите.

Потенциальная энергия спутника на обеих орбитах полностью зависит от его высоты над поверхностью Земли и может быть записана как:

\[ E_{\text{пот1}} = -\frac{G M m}{r_1}, \]
\[ E_{\text{пот2}} = -\frac{G M m}{r_2}, \]

где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса Земли.

Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия системы должна оставаться постоянной:

\[ E_{\text{кин1}} + E_{\text{пот1}} = E_{\text{кин2}} + E_{\text{пот2}}. \]

Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии, получаем:

\[ \frac{1}{2} m v_1^2 -\frac{G M m}{r_1} = \frac{1}{2} m v_2^2 -\frac{G M m}{r_2}. \]

Масса спутника \( m \) сокращается, а радиусы \( r_1 \) и \( r_2 \) связаны между собой, поэтому получаем:

\[ v_1^2 - \frac{G M}{r_1} = v_2^2 - \frac{G M}{r_2}. \]

Мы также знаем, что скорость спутника на орбите связана с радиусом орбиты следующим образом:

\[ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}. \]

Подставляя это выражение, получаем:

\[ \frac{G M}{r_1} - \frac{G M}{r_2} = \frac{G M}{r_1} - \frac{G M}{2 \cdot r_1}. \]

Далее сокращаем \( G \), \( M \) и \( \frac{1}{r_1} \), и получаем:

\[ \frac{1}{r_2} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{2 \cdot r_1}. \]

Упрощаем это выражение:

\[ \frac{1}{r_2} = \frac{2}{2 \cdot r_1} - \frac{1}{2 \cdot r_1}, \]
\[ \frac{1}{r_2} = \frac{1}{2 \cdot r_1}. \]

Теперь, найдя обратную величину от \( r_2 \), получаем:

\[ r_2 = 2 \cdot r_1. \]

Мы видим, что получилось исходное условие, значит, наш предположенный ответ верен. Поэтому изменение скорости, которое необходимо внести в движение искусственного спутника, чтобы он перешел на орбиту с радиусом в два раза больше исходного, составляет ноль. Скорость спутника остается неизменной при переходе на орбиту с другим радиусом.