Какую массу груза необходимо добавить, чтобы период колебаний груза увеличился в три раза?

Якорь

8

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые физические законы. Период колебаний \(T\) зависит от массы \(m\) груза и силы \(F\) восстанавливающего действия, которая возникает при колебаниях. Закон гармонического осциллятора гласит, что период колебаний обратно пропорционален квадратному корню из силы восстанавливающего действия и прямо пропорционален квадратному корню отношения массы груза к силе восстановления. В математической форме это выглядит следующим образом:

\[T = 2π \sqrt{\frac{m}{F}}\]

По условию задачи, нам нужно найти массу \(m\), если период колебаний увеличивается втрое. Позвольте мне проиллюстрировать решение на примере.

Пусть у нас изначально есть груз массой \(m_1\) и период колебаний \(T_1\). Мы добавляем груз массой \(m_2\), чтобы период колебаний стал равным \(T_2\). Используем закон гармонического осциллятора для каждого случая:

\[T_1 = 2π \sqrt{\frac{m_1}{F}}\]
\[T_2 = 2π \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{F}}\]

Мы знаем, что период колебаний \(T_2\) увеличивается втрое, поэтому \(T_2 = 3T_1\). Подставляем это значение в уравнение:

\[3T_1 = 2π \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{F}}\]

Теперь, чтобы найти \(m_2\), нам нужно решить это уравнение относительно \(m_2\). Для этого возводим обе части уравнения в квадрат:

\[9T_1^2 = 4π^2 \frac{m_1 + m_2}{F}\]

Затем домножаем обе части на \(F\) и делим на \(4π^2\):

\[\frac{9T_1^2F}{4π^2} = m_1 + m_2\]

Наконец, вычитаем \(m_1\) с обеих сторон уравнения:

\[m_2 = \frac{9T_1^2F}{4π^2} - m_1\]

Итак, для того чтобы узнать массу груза \(m_2\), которую нужно добавить, чтобы период колебаний увеличился втрое, мы используем это уравнение, подставляя известные значения \(T_1\), \(F\) и \(m_1\).

Важно помнить, что конкретные значения \(T_1\), \(F\) и \(m_1\) должны быть даны или известны, чтобы использовать это уравнение для получения конкретного численного ответа.