Какую начальную скорость имело первое тело, если оно было брошено вертикально вверх с высоты 10 м, а второе тело падало

Antonovna_4136

42

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать уравнения движения по вертикали для каждого тела.

Пусть \( v_1 \) - начальная скорость первого тела и \( v_2 \) - начальная скорость второго тела.

Ускорение свободного падения - \( g = 9,8 \, м/с^2 \), время падения обоих тел - \( t \).

Также дано, что первое тело было брошено вертикально вверх с высоты 10 м, а второе тело падало с высоты 20 м без начальной скорости.

Рассмотрим движение падающего тела:
Высота падения первого тела равна 10 м, тогда \( s_1 = -10 \, м \).
Используя уравнение расстояния для падения:

\[ s_1 = v_1 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]

Подставляем значения в уравнение и находим \( t \):

\[ -10 = v_1 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 \]

\[ 0,49 \cdot t^2 + v_1 \cdot t + 10 = 0 \]

Рассмотрим движение тела, брошенного вертикально вверх:

Высота броска второго тела равна 20 м, тогда \( s_2 = 20 \, м \).
Используя уравнение расстояния для вертикального движения вверх:

\[ s_2 = v_2 \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]

Подставляем значения в уравнение:

\[ 20 = v_2 \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 \]

\[ 0,49 \cdot t^2 - v_2 \cdot t + 20 = 0 \]

Так как оба тела достигли земли одновременно, то время \( t \) у обоих тел будет одинаковым.

Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
0,49 \cdot t^2 + v_1 \cdot t + 10 = 0 \\
0,49 \cdot t^2 - v_2 \cdot t + 20 = 0
\end{cases}
\]

Чтобы найти \( v_1 \), сначала найдём значение времени \( t \) из системы уравнений.

Вычтем из первого уравнения второе:

\[ v_1 \cdot t + 10 + v_2 \cdot t - 20 = 0 \]
\[ (v_1 + v_2) \cdot t - 10 = 0 \]
\[ t = \frac{10}{v_1 + v_2} \]

Подставляем значение времени в первое уравнение системы:

\[ 0,49 \cdot \left(\frac{10}{v_1 + v_2}\right)^2 + v_1 \cdot \frac{10}{v_1 + v_2} + 10 = 0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 0,49 \cdot \left(\frac{10}{v_1 + v_2}\right)^2 + \frac{10 \cdot v_1}{v_1 + v_2} + 10 = 0 \]

\[ 0,49 \cdot \frac{100}{(v_1+v_2)^2} + \frac{10 \cdot v_1}{v_1+v_2} + 10 = 0 \]

\[ 49 + 10 \cdot \frac{v_1}{v_1 + v_2} + 10 = 0 \]

\[ 10 \cdot \frac{v_1}{v_1+v_2} = -59 \]

\[ \frac{v_1}{v_1 + v_2} = -5,9 \]

\[ v_1 = -5,9 \cdot (v_1+v_2) \]

\[ v_1 = -5,9 \cdot v_1 - 5,9 \cdot v_2 \]

\[ 6,9 \cdot v_1 = -5,9 \cdot v_2 \]

\[ v_1 = -\frac{5,9}{6,9} \cdot v_2 \]

\[ v_1 \approx -0,855 \cdot v_2 \]

Таким образом, начальная скорость первого тела примерно равна -0,855 умножить на начальную скорость второго тела.