Яким є прискорення руху космічного корабля, який вмикає реактивний двигун масою 20 та викидає продукти згоряння

Solnechnyy_Kalligraf

69

Задача 1: Яким є прискорення руху космічного корабля, який вмикає реактивний двигун масою 20 та викидає продукти згоряння пального масою 2,5 кг зі швидкістю 4 км/с кожну секунду?

Для розв"язання цієї задачі використаємо другий закон Ньютона, який говорить, що сила, прикладена до тіла, дорівнює масі тіла помноженій на прискорення.

Ми маємо продукти згоряння пального прискорюються в нашому випадку відносно корабля, що означає, що ми повинні врахувати зворотну реакцію - силу, що діє на корабель в зворотному напрямку.

Спочатку знайдемо силу, яка діє на продукти згоряння пального. Для цього використовуємо закон збереження кількості руху. Сила, яка діє на продукти згоряння, рівна зміні кількості руху цих продуктів згоряння.

Маса продуктів згоряння пального масою 2,5 кг дорівнює 0,0025 ton.

Зміна кількості руху продуктів згоряння може бути обчислена як:

\[\Delta p = m \cdot \Delta v\]

де \(\Delta p\) - зміна кількості руху, \(m\) - маса продуктів згоряння, \(\Delta v\) - зміна швидкості в результаті викиду.

Отже, \(\Delta v = 4 \, \text{км/с}\).

Підставляючи ці значення до формули, ми отримуємо:

\[\Delta p = 0,0025 \, \text{т} \cdot 4 \, \text{км/с}\]

\[\Delta p = 0,0025 \cdot 4 \, \text{т} \cdot 1000 \, \text{м/с}\]

\[\Delta p = 0,0025 \cdot 4 \cdot 1000 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}\]

Отримуємо, що зміна кількості руху продуктів згоряння дорівнює:

\[\Delta p = 10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}\]

Оскільки маса корабля масою 20 тон, ми можемо обчислити силу реактивного струменя за допомогою тієї ж формули:

\[F = m \cdot a\]

де \(F\) - сила, \(m\) - маса корабля у кг, \(a\) - прискорення корабля у м/с².

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

\[F = 20 \, \text{т} \cdot 1000 \, \text{кг/т} \cdot a\]

\[F = 20000 \, \text{кг} \cdot a\]

За третім законом Ньютона сила реактивного струменя дорівнює силі, що діє на продукти згоряння, тому:

\[F = 10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}\]

Отримуємо рівняння:

\[20000 \, \text{кг} \cdot a = 10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}\]

Поділивши обидві частини на 10 \, кг, ми одержимо значення прискорення \(a\):

\[a = \frac{10 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{20000 \, \text{кг}}\]

\[a = 0,0005 \, \text{м/с²}\]

Отже, прискорення руху космічного корабля становить 0,0005 м/с².

Задача 2: Яка робота потрібна, щоб збільшити швидкість руху тіла від 4 до 6 м/с?

Робота, необхідна для збільшення швидкості тіла, може бути обчислена за формулою:

\[W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_f^2 - v_i^2)\]

де \(W\) - робота, \(m\) - маса тіла, \(v_f\) - кінцева швидкість, \(v_i\) - початкова швидкість.

Підставивши відомі значення, отримаємо:

\[W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot ((6 \, \text{м/с})^2 - (4 \, \text{м/с})^2)\]

\[W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (36 \, \text{м²/с²} - 16 \, \text{м²/с²})\]

\[W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot 20 \, \text{м²/с²}\]

Отже, робота, необхідна для збільшення швидкості тіла від 4 до 6 м/с, становить \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot 20 \, \text{м²/с²}\).

Задача 3: Коли зовнішні сили виконали роботу 24 Дж, а швидкість руху збільшилась від 2 до 4 м/с?

Робота, яку виконують зовнішні сили над тілом, рівна зміні механічної енергії тіла.

Механічна енергія тіла обчислюється як:
\[E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]
де \(E\) - механічна енергія, \(m\) - маса тіла, \(v\) - швидкість.

Зміна механічної енергії може бути обчислена як:
\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_f^2 - v_i^2)\]
де \(\Delta E\) - зміна механічної енергії, \(m\) - маса тіла, \(v_f\) - кінцева швидкість, \(v_i\) - початкова швидкість.

Підставивши відомі значення, отримаємо:
\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot ((4 \, \text{м/с})^2 - (2 \, \text{м/с})^2)\]
\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (16 \, \text{м²/с²} - 4 \, \text{м²/с²})\]
\[\Delta E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot 12 \, \text{м²/с²}\]

Робота, яку виконують зовнішні сили над тілом, рівна зміні механічної енергії тіла, тому:
\[\Delta E = 24 \, \text{Дж}\]

Отже, робота, необхідна для збільшення швидкості тіла з 2 до 4 м/с, становить \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot 12 \, \text{м²/с²}\), а зовнішні сили виконали роботу 24 Дж.