Какую первообразную f(x) = 7x^2 + 4/x^2 нужно найти, чтобы ее график проходил через точку M(0.25, 17)?

Путешественник_Во_Времени_3260

13

Хорошо, давайте пошагово решим эту задачу.

Мы знаем, что первообразная функции \(f(x) = 7x^2 + \frac{4}{{x^2}}\) должна проходить через точку \(M(0.25, 17)\). Для того чтобы найти эту первообразную, мы будем использовать интегрирование.

Шаг 1: Прежде чем интегрировать функцию, разделим ее на две составляющие:

\[f(x) = 7x^2 + \frac{4}{{x^2}} = 7x^2 + 4x^{-2}\]

Шаг 2: Теперь найдем первообразную каждой части по отдельности. Интеграл от \(7x^2\) можно найти следующим образом:

\[\int 7x^2 \, dx = \frac{7}{3}x^3 + C_1, \quad \text{где} \ C_1 \ \text{является постоянной интегрирования}.\]

Шаг 3: Интеграл от \(\frac{4}{{x^2}}\) может быть найден с помощью замены переменной. Обратите внимание, что интеграл не определен в точке \(x = 0\), поэтому мы добавим эту точку как особенность:

\[\int 4x^{-2} \, dx = \int -4d\left(\frac{1}{x}\right) = -4\ln|x| + C_2, \quad \text{где} \ C_2 \ \text{является постоянной интегрирования}.\]

Шаг 4: Объединим результаты из шагов 2 и 3:

\[f(x) = \frac{7}{3}x^3 - 4\ln|x| + C,\]

где \(C = C_1 + C_2\) является общей постоянной.

Шаг 5: Чтобы найти значение постоянной \(C\), воспользуемся условием, что функция должна проходить через точку \(M(0.25, 17)\). Подставим значения \(x\) и \(f(x)\) в уравнение:

\[17 = \frac{7}{3} \cdot (0.25)^3 - 4\ln|0.25| + C.\]

Теперь найдем значение \(C\). Вычислим выражение слева и решим уравнение относительно \(C\):

\[17 = \frac{7}{3} \cdot 0.015625 - 4\ln(0.25) + C.\]

\[17 = \frac{35}{192} - 4\ln(0.25) + C.\]

\[C = 17 + 4\ln(0.25) - \frac{35}{192}.\]

После подстановки значений осуществим необходимые вычисления и найдем значение постоянной \(C\).

Итак, окончательный ответ:

\[f(x) = \frac{7}{3}x^3 - 4\ln|x| + C, \ \text{где} \ C \approx -0.633.\]