Какую работу совершает результирующий момент внешних сил над телом, когда оно вращается по заданному закону углового
Какую работу совершает результирующий момент внешних сил над телом, когда оно вращается по заданному закону углового смещения φ = φ(t), где A, B, C - константы, в промежутке времени от t1 до t2? Размерности констант A, B, C предоставлены. Вращающийся объект имеет массу m и радиус (или длину) r. Известно, что масса m = 60 г, радиус r = 8 см, а закон изменения углового смещения φ = A + Bt^5, где A = 4, B = 0,8, t1 = 2,0 с, t2 = с.
Veterok 18
Чтобы рассчитать работу, совершаемую результирующим моментом внешних сил над вращающимся телом, необходимо использовать следующий подход.1. Первым шагом необходимо определить момент силы F, действующей на тело. Момент силы определяется как произведение модуля приложенной силы и перпендикулярного к ней расстояния от оси вращения. В данном случае момент силы равен F * r, где r - радиус (или длина) вращающегося объекта.
2. Вторым шагом нужно выразить закон изменения углового смещения φ как функцию времени t. В данной задаче, закон дан в виде φ = A + Bt^5, где A и B - константы.
3. Далее, следует рассчитать угловую скорость ω. Угловая скорость определяется как производная углового смещения по времени, т.е. ω = dφ/dt.
4. После этого находим угловое ускорение α. Угловое ускорение, seiner nach Beispiel ist α = dω/dt = d^2φ/dt^2.
5. Теперь можем рассчитать момент инерции I вращающегося объекта. Момент инерции зависит от геометрической формы тела и его распределения массы относительно оси вращения.
6. Наконец, можно рассчитать работу W, совершаемую результирующим моментом внешних сил над телом, используя следующую формулу:
\[ W = \int_{t1}^{t2} \tau \, dt = \int_{t1}^{t2} I \cdot \alpha \, dt \]
Применяя формулы и данные из условия задачи, давайте рассчитаем работу.
1. Радиус r дан и равен 8 см, что составляет 0,08 метра.
2. Закон изменения углового смещения дан в виде φ = A + Bt^5, где A = 4 и B = 0,8.
3. Угловая скорость ω равна производной углового смещения по времени:
\[ \omega = \frac{{d\varphi}}{{dt}} = \frac{{d(A + Bt^5)}}{{dt}} = \frac{{d(4 + 0,8t^5)}}{{dt}} = 4Bt^4 = 4 \cdot 0,8 \cdot t^4 = 3,2t^4 \]
4. Угловое ускорение α равно производной угловой скорости по времени:
\[ \alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}} = \frac{{d(3,2t^4)}}{{dt}} = 12,8t^3 \]
5. Момент инерции I тела зависит от его геометрической формы и распределения массы. В данной задаче масса m тела равна 60 г, что составляет 0,06 кг. Для шара массы m и радиуса r момент инерции равен I = \(\frac{2}{5}mr^2\). Подставляя значения, получаем:
\[ I = \frac{2}{5} \cdot 0,06 \cdot (0,08)^2 = 0,000192 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]
6. Теперь, подставляя значения в формулу для работы, получаем:
\[ W = \int_{t1}^{t2} I \cdot \alpha \, dt = \int_{2,0}^{t} 0,000192 \cdot 12,8 t^3 \, dt \]
Далее производится интегрирование по указанным пределам интеграла. Процесс интегрирования можно обозначить следующим образом:
\[ W = 0,000192 \int_{2,0}^{t} 12,8 t^3 \, dt = 0,000192 \left[ \frac{12,8}{4}t^4 \right]_{2,0}^{t} = 0,000192 \cdot \left( \frac{12,8}{4}t^4 - \frac{12,8}{4} \cdot 2,0^4 \right) \]
Подставляя значения и вычисляя это выражение, можно получить ответ на задачу.