Какую работу выполнили над одноатомным идеальным газом объемом 0.4 моля в результате адиабатического процесса

Raduga_Na_Nebe

53

Для решения данной задачи нам понадобится использовать два важных закона термодинамики: закон сохранения энергии и уравнение состояния идеального газа.

Воспользуемся первым законом термодинамики, который гласит, что изменение внутренней энергии газа равно сумме работы, совершенной над газом и количества тепла, полученного или отданного газом в процессе.

Учитывая, что процесс является адиабатическим, это означает, что теплообмен газа с окружающей средой отсутствует (нет теплообмена). Следовательно, количество тепла, полученного или отданного газом в процессе, равно нулю: \(Q = 0\).

Тогда уравнение первого закона термодинамики можно упростить до:

\(\Delta U = W\).

Изменение внутренней энергии газа (\(\Delta U\)) определяется разностью работы (\(W\)), совершенной над газом.

Зная, что изменение внутренней энергии идеального газа пропорционально изменению его температуры при постоянном объеме, мы можем записать:

\(\Delta U = C_v \cdot \Delta T\),

где \(C_v\) - молярная теплоемкость при постоянном объеме газа, а \(\Delta T\) - изменение температуры газа.

Теперь нам необходимо выразить работу (\(W\)) через известные величины.

Адиабатический процесс определяется уравнением состояния идеального газа:

\(PV^{\gamma} = const\),

где \(P\) - давление газа, \(V\) - его объем, а \(\gamma\) - показатель адиабаты для данного газа.

Так как у нас одноатомный идеальный газ, то для него показатель адиабаты равен \(\gamma = \frac{5}{3}\).

Зная уравнение состояния газа и процесс адиабатического расширения, мы можем определить отношение объемов газа в начальном и конечном состояниях (\(\frac{V_1}{V_2}\)):

\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{1}{\gamma}}\),

где \(P_1\) и \(P_2\) - давление газа в начальном и конечном состояниях соответственно.

Так как давление обратно пропорционально объему, то можно записать:

\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{1}{\gamma}} = \left(\frac{0.4}{1}\right)^{\frac{1}{\gamma}} = 0.4^{\frac{1}{\gamma}}\).

Далее, мы можем выразить исходный объем газа в начальном состоянии:

\(V_1 = V_2 \cdot 0.4^{\frac{1}{\gamma}}\).

Теперь нам понадобится выразить объем второго состояния через известные величины.

Из условия задачи нам известны начальная и конечная температуры газа (\(T_1 = 250 \, K\) и \(T_2 = ??\, K\)).

Так как газ является идеальным, мы можем использовать уравнение состояния идеального газа для процесса адиабатического расширения:

\(PV^{\gamma} = const\).

При известном начальном и конечном объемах газа (\(V_1\) и \(V_2\)), мы можем выразить начальное и конечное давление газа (\(P_1\) и \(P_2\)):

\(P_1 = \frac{const}{V_1^{\gamma}}\) и \(P_2 = \frac{const}{V_2^{\gamma}}\).

Теперь мы можем записать выражение для изменения температуры газа (\(\Delta T = T_2 - T_1\)) через известные величины:

\(\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{{T_1 \cdot V_2^{\gamma} - T_2 \cdot V_1^{\gamma}}}{{V_1^{\gamma}}}\).

Наконец, мы можем подставить найденное изменение температуры в первое уравнение:

\(\Delta U = C_v \cdot \Delta T = C_v \cdot \frac{{T_1 \cdot V_2^{\gamma} - T_2 \cdot V_1^{\gamma}}}{{V_1^{\gamma}}}\).

Таким образом, мы нашли изменение внутренней энергии газа. Чтобы определить работу (\(W\)), нам понадобится знать молярную теплоемкость при постоянном объеме \(C_v\) для данного газа.

Надеюсь, что это подробное объяснение поможет вам лучше понять, как решать данную задачу. Если у вас возникнут вопросы или потребуется дополнительное объяснение, не стесняйтесь задавать!