Какую разницу в температуре между горячей и холодной водой можно определить, если экспериментатор наполнил первый сосуд

Ledyanoy_Vzryv_4299

7

Для решения этой задачи нам потребуется использовать принцип смешивания тепловых состояний.

Давайте обозначим следующие величины:
\(T_1\) - начальная температура горячей воды,
\(T_2\) - начальная температура холодной воды,
\(T_{\text{кон}}\) - конечная температура смеси в первом сосуде,
\(T_{\text{г}}\) - конечная температура горячей воды во втором сосуде,
\(T_{\text{х}}\) - конечная температура холодной воды во втором сосуде.

Из условия задачи известно, что разница между конечными температурами воды в сосудах составляет 20 °C, то есть:

\[
T_{\text{кон}} - T_{\text{г}} = 20
\]

Также, из принципа смешивания, известно, что при смешивании воды с разными температурами, сумма количеств тепла, переданного от горячей воды к холодной, равна нулю.

Давайте составим уравнение, учитывая эти факты:

\[
\frac{1}{3} \cdot (T_1 - T_{\text{г}}) + \frac{2}{3} \cdot (T_2 - T_{\text{г}}) = 0
\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно неизвестной величины \(T_{\text{г}}\):

\[
\frac{1}{3} \cdot (T_1 - T_{\text{г}}) + \frac{2}{3} \cdot (T_2 - T_{\text{г}}) = 0
\]

\[
\frac{1}{3} \cdot T_1 - \frac{1}{3} \cdot T_{\text{г}} + \frac{2}{3} \cdot T_2 - \frac{2}{3} \cdot T_{\text{г}} = 0
\]

\[
\frac{1}{3} \cdot T_1 + \frac{2}{3} \cdot T_2 = \frac{1}{3} \cdot T_{\text{г}} + \frac{2}{3} \cdot T_{\text{г}}
\]

\[
T_1 + 2 \cdot T_2 = T_{\text{г}} + 2 \cdot T_{\text{г}}
\]

\[
T_1 + 2 \cdot T_2 = 3 \cdot T_{\text{г}}
\]

Теперь заменим \(T_{\text{г}}\) на \(T_{\text{кон}} - 20\) в полученном уравнении:

\[
T_1 + 2 \cdot T_2 = 3 \cdot (T_{\text{кон}} - 20)
\]

Известно, что в конечном состоянии в первом сосуде на треть находится горячая вода, поэтому:

\[
T_{\text{кон}} = \frac{2}{3} \cdot T_1 + \frac{1}{3} \cdot T_2
\]

Подставим это значение для \(T_{\text{кон}}\) в уравнение:

\[
\frac{2}{3} \cdot T_1 + \frac{1}{3} \cdot T_2 + 2 \cdot T_2 = 3 \cdot (\frac{2}{3} \cdot T_1 + \frac{1}{3} \cdot T_2) - 20
\]

\[
2 \cdot T_1 + T_2 + 6 \cdot T_2 = 6 \cdot T_1 + 3 \cdot T_2 - 60
\]

\[
-4 \cdot T_1 = 4 \cdot T_2 - 60
\]

Теперь мы можем найти соотношение между \(T_1\) и \(T_2\):

\[
T_2 = \frac{1}{4} \cdot T_1 + 15
\]

Используя это соотношение, мы можем решить полученные уравнения методом подстановки или методом приравнивания.

Применим метод приравнивания, в котором \(T_2 = \frac{1}{4} \cdot T_1 + 15\):

\[
T_1 + 2 \cdot (\frac{1}{4} \cdot T_1 + 15) = 3 \cdot T_{\text{кон}} - 60
\]

\[
T_1 + \frac{1}{2} \cdot T_1 + 30 = 3 \cdot T_{\text{кон}} - 60
\]

\[
\frac{3}{2} \cdot T_1 + 30 = 3 \cdot T_{\text{кон}} - 60
\]

\[
\frac{3}{2} \cdot T_1 = 3 \cdot T_{\text{кон}} - 90
\]

\[
T_1 = 2 \cdot T_{\text{кон}} - 60
\]

Теперь, заменив \(T_1\) в выражении для \(T_2\), получаем:

\[
T_2 = \frac{1}{4} \cdot (2 \cdot T_{\text{кон}} - 60) + 15
\]

\[
T_2 = \frac{1}{2} \cdot T_{\text{кон}} - 15 + 15
\]

\[
T_2 = \frac{1}{2} \cdot T_{\text{кон}}
\]

Нам также известно, что разница в конечных температурах составляет 20 °C:

\[
T_{\text{кон}} - T_{\text{г}} = 20
\]

Заменив \(T_{\text{г}}\) на \(\frac{1}{2} \cdot T_{\text{кон}}\), получаем:

\[
T_{\text{кон}} - \frac{1}{2} \cdot T_{\text{кон}} = 20
\]

\[
\frac{1}{2} \cdot T_{\text{кон}} = 20
\]

\[
T_{\text{кон}} = 40
\]

Теперь мы можем найти \(T_1\) и \(T_2\):

\[
T_1 = 2 \cdot T_{\text{кон}} - 60 = 2 \cdot 40 - 60 = 20
\]

\[
T_2 = \frac{1}{2} \cdot T_{\text{кон}} = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20
\]

Таким образом, разница в температуре между горячей и холодной водой составляет 0 °C.