Какую скорость локомотива, выраженную в километрах в час, нужно иметь, чтобы время от пересечения железнодорожного

Сверкающий_Пегас

67

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться уравнениями равноускоренного движения.

Пусть \( t_1 \) - время, требуемое для преодоления первых 200 метров.

Тогда расстояние, пройденное с начальной скоростью \( v \) за время \( t_1 \), можно выразить следующим образом:

\[ s_1 = v \cdot t_1 \]

Так как локомотив двигается с постоянной скоростью, мы также можем записать:

\[ s_1 = 200 \]

Отсюда получаем:

\[ v \cdot t_1 = 200 \Rightarrow t_1 = \frac{200}{v} \]

Пусть \( t_2 \) - время, требуемое для полной остановки локомотива.

По второму закону Ньютона:

\[ s_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t_2^2 \]

Где \( a \) - ускорение торможения, равное 0,5 метров в секунду в квадрате. Мы также знаем, что расстояние, пройденное за время \( t_2 \), равно 200 метров:

\[ s_2 = 200 \]

Подставляя значение ускорения и расстояния, получаем:

\[ 200 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot t_2^2 \Rightarrow 200 = \frac{1}{4} \cdot t_2^2 \Rightarrow t_2^2 = 800 \Rightarrow t_2 = \sqrt{800} \]

Теперь общее время движения локомотива можно выразить как сумму времени преодоления первых 200 метров и времени полной остановки:

\[ t = t_1 + t_2 = \frac{200}{v} + \sqrt{800} \]

Наша задача состоит в том, чтобы минимизировать это время. Для этого найдем минимум функции времени по скорости \( v \):

\[ \frac{dt}{dv} = \frac{d}{dv} \left( \frac{200}{v} + \sqrt{800} \right) = 0 \]

Дифференцируя это выражение, получим:

\[ -\frac{200}{v^2} = 0 \Rightarrow 200 = 0 \]

Здесь мы сталкиваемся с противоречием. Получается, что мы не можем найти минимум этой функции, поскольку она не имеет точки экстремума.

Однако, если мы примем во внимание физическую интерпретацию задачи, то можно увидеть, что минимальное время будет достигаться при наибольшей начальной скорости, потому что локомотиву нужно преодолеть фиксированное расстояние за ограниченное время. Таким образом, чтобы минимизировать время, локомотив должен иметь бесконечно большую скорость.

Итак, чтобы время от пересечения железнодорожного переезда до полной остановки локомотива было минимальным, локомотив должен иметь бесконечную скорость.