Какую скорость v2 получит второй осколок, если снаряд вылетает из орудия со скоростью ν под углом α к горизонту

Kamen

16

Для решения данной задачи, нам понадобятся законы сохранения импульса и момента импульса.

Первым делом, рассмотрим горизонтальную составляющую движения осколка с углом β.

Момент импульса относительно оси вращения \(L\) определяется как произведение массы тела на его скорость, умноженное на радиус-вектор от оси вращения до точки приложения импульса:
\[L = m_2 \cdot v_2 \cdot r\]
где \(m_2\) -- масса осколка, \(v_2\) -- его скорость, \(r\) -- расстояние от оси вращения до точки приложения импульса (если оно есть).

Из закона сохранения момента импульса следует, что \(L\) не меняется при движении осколка, так как не действуют внешние моменты сил. То есть, момент импульса перед разрывом осколка равен моменту импульса после разрыва осколка:
\[m_1 \cdot v_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot v_2 \cdot r_2\]
где \(m_1\) -- масса снаряда, \(v_1\) -- его скорость, \(r_1\) -- радиус-вектор до точки приложения импульса на снаряде (оси вращения до разрыва осколка), \(r_2\) -- радиус-вектор до точки приложения импульса на втором осколке (оси вращения до разрыва).

Теперь рассмотрим вертикальную составляющую движения второго осколка.

Учитывая, что вертикальное движение осколка и его падение происходят без начальной вертикальной скорости, можно сказать, что изменение вертикального импульса равно 0, то есть:
\[m_1 \cdot v_1 \cdot \sin(\alpha) = m_2 \cdot v_2 \cdot \sin(\beta)\]
где \(\alpha\) -- угол между снарядом и горизонтом, \(\beta\) -- угол между вторым осколком и горизонтом.

Но у нас есть еще и закон сохранения горизонтального импульса. Исходя из этого закона, сумма горизонтальных импульсов до и после разрыва должна быть одинакова:
\(m_1 \cdot v_1 \cdot \cos(\alpha) = m_2 \cdot v_2 \cdot \cos(\beta)\)

Теперь мы имеем систему из трёх уравнений:
\[m_1 \cdot v_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot v_2 \cdot r_2\]
\[m_1 \cdot v_1 \cdot \sin(\alpha) = m_2 \cdot v_2 \cdot \sin(\beta)\]
\[m_1 \cdot v_1 \cdot \cos(\alpha) = m_2 \cdot v_2 \cdot \cos(\beta)\]

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы решить задачу численно, и определить скорость второго осколка. Но перед этим, чтобы дать наглядное представление о решении, давайте проведем графическую визуализацию ситуации на декартовой системе координат:

\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
% Coordinates
\coordinate (O) at (0, 0); % Origin
\coordinate (S) at (2, 0); % Tail of projectile/snake
\coordinate (P) at (4.5, 1.5); % Projectile/snake landing point
\coordinate (P_vertical) at (4.5, 0); % Vertical landing point of the projectile/snake
\coordinate (O1) at (4, 0); % Horizontal rotation axis
\coordinate (O2) at (4.5, 1); % Vertical rotation axis

% Coordinate axes
\draw[->] (-1,0) -- +(6,0) node[below] {$x$};
\draw[->] (0,-1) -- +(0,3) node[left] {$y$};

% Projectile/snake path
\draw[dashed] (O) -- (S);
\draw[dashed] (S) -- (P);
\draw[thick, red, ->] (S) -- node[below, xshift=5pt] {$\mathbf{v_1}$} (P);

% Vertical landing point
\draw[thick] (P) -- (P_vertical);
\draw[dashed] (P) -- (O1);

% Angles
\pic [draw, angle radius=1cm] {angle = P--S--O};
\pic [draw, angle radius=1.5cm] {angle = O1--O--P};
\pic [draw, angle radius=0.7cm, angle eccentricity=1.5] {angle = O2--P--S};

% Angle labels
\node at (2.2, 0.4) {$\alpha$};
\node at (3.8, 0.9) {$\beta$};

% Text labels
\node at (S) [below left] {Снаряд};
\node at (P) [above right] {Второй осколок};
\node at (O1) [below] {Ось вращения};
\node at (O2) [above right] {Ось вращения};

\end{tikzpicture}
\]

Теперь проведем аналитическое решение задачи.

Из первого уравнения:
\[m_1 \cdot v_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot v_2 \cdot r_2\]
Выразим \(r_1\) через \(r_2\):
\[r_1 = \frac{{m_2 \cdot v_2 \cdot r_2}}{{m_1 \cdot v_1}}\]

Подставим значение \(r_1\) во второе и третье уравнения:
\[m_1 \cdot v_1 \cdot \sin(\alpha) = m_2 \cdot v_2 \cdot \sin(\beta)\]
\[m_1 \cdot v_1 \cdot \cos(\alpha) = m_2 \cdot v_2 \cdot \cos(\beta)\]

Упростив уравнения, получим:
\[\frac{{\sin(\alpha)}}{{\cos(\alpha)}} = \frac{{\sin(\beta)}}{{\cos(\beta)}}\]
\[\tan(\alpha) = \tan(\beta)\]

Отсюда можно сделать вывод, что \(\alpha = \beta\), то есть, углы разлета осколков одинаковы.

Теперь подставим значения \(r_1\) и \(r_2\) в первое уравнение:
\[m_1 \cdot v_1 \cdot \frac{{m_2 \cdot v_2 \cdot r_2}}{{m_1 \cdot v_1}} = m_2 \cdot v_2 \cdot r_2\]
\[v_2 = \frac{{m_1 \cdot v_1}}{{m_2}}\]

Таким образом, скорость \(v_2\) второго осколка равна отношению начального импульса снаряда к массе осколка:
\[v_2 = \frac{{m_1 \cdot v_1}}{{m_2}}\]

Теперь, чтобы решить задачу численно, давайте предположим, что массы снаряда и осколков равны 1 килограмму, начальная скорость снаряда \(v_1 = 50\) м/с, а угол разлета \(\alpha = 45^\circ\).

\[v_2 = \frac{{1 \cdot 50}}{{1}} = 50 \ м/с\]

Таким образом, второй осколок получит скорость 50 м/с.

Мы получили ответ и провели детальное объяснение всего решения задачи, а также предоставили графическую визуализацию для лучшего понимания. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задавайте!