Какую величину имеет угол В в треугольнике АВС, если координаты точек А, В и С равны соответственно (0, 5, 0

Саранча_1799

38

Для решения этой задачи мы можем использовать векторное определение скалярного произведения между двумя векторами. Первым шагом найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), а затем вычислим значение скалярного произведения этих векторов, чтобы найти угол между ними.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) получается путем вычитания координат точки \(A\) из координат точки \(B\):

\[\overrightarrow{AB} = B - A\]

\[\overrightarrow{AB} = (4, 3, -8) - (0, 5, 0)\]

\[\overrightarrow{AB} = (4, 3, -8)\]

Вектор \(\overrightarrow{BC}\) получается путем вычитания координат точки \(B\) из координат точки \(C\):

\[\overrightarrow{BC} = C - B\]

\[\overrightarrow{BC} = (-1, 0, 1) - (4, 3, -8)\]

\[\overrightarrow{BC} = (-5, -3, 9)\]

Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos{\theta}\]

Где \(|\overrightarrow{AB}|\) и \(|\overrightarrow{BC}|\) - длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), а \(\theta\) - угол между ними.

Длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) вычисляются следующим образом:

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 9 + 64} = \sqrt{89}\]

\[|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115}\]

Подставляя значения в формулу для скалярного произведения, получим:

\[(4, 3, -8) \cdot (-5, -3, 9) = \sqrt{89} \cdot \sqrt{115} \cdot \cos{\theta}\]

\[-20 - 9 - 72 = \sqrt{89} \cdot \sqrt{115} \cdot \cos{\theta}\]

\[-101 = \sqrt{89 \cdot 115} \cdot \cos{\theta}\]

Чтобы найти значение угла \(\theta\), необходимо разделить обе части уравнения на \(\sqrt{89 \cdot 115}\):

\[\cos{\theta} = \frac{-101}{\sqrt{89 \cdot 115}}\]

Находим значение угла \(\theta\) с помощью функции обратного косинуса (арккосинус) в калькуляторе:

\[\theta \approx \arccos{\left(\frac{-101}{\sqrt{89 \cdot 115}}\right)}\]

Подставляя значения в калькулятор, получим:

\[\theta \approx 149.17^\circ\]

Таким образом, угол В в треугольнике АВС равен около 149.17 градусов.