Какую жесткость следует выбрать для пружины, чтобы период колебаний груза стал в два раза меньше?

Shokoladnyy_Nindzya

7

Чтобы выбрать подходящую жесткость пружины для достижения уменьшения периода колебаний груза в 2 раза, нам необходимо использовать закон Гука и уравнение для периода колебаний пружинного маятника.

Закон Гука утверждает, что сила, действующая на пружину, прямо пропорциональна ее удлинению или сжатию. Математически это выражается следующим уравнением:

\[F = -kx\]

Где:
- F - сила, действующая на пружину (в нашем случае это сила, действующая на груз),
- k - коэффициент жесткости пружины,
- x - удлинение или сжатие пружины.

Уравнение для периода колебаний пружинного маятника имеет вид:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Где:
- T - период колебаний,
- m - масса груза,
- k - коэффициент жесткости пружины (тот самый, который мы хотим найти).

Рассмотрим ситуацию, когда мы выбираем пружину с жесткостью \(k_1\), и период колебаний груза составляет \(T_1\). Мы хотим уменьшить этот период в 2 раза. То есть, нам нужно найти значение жесткости пружины \(k_2\), чтобы период колебаний стал \(T_2 = \frac{T_1}{2}\).

Используя уравнение для периода колебаний пружинного маятника, мы можем записать:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}\]
\[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}}\]

Мы хотим, чтобы \(T_2 = \frac{T_1}{2}\), поэтому:

\[2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}\]

Упрощая это уравнение, получим:

\[\sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{m}{k_1}}\]

Далее, возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{m}{k_2} = \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{m}{k_1}}\right)^2\]

Упрощая, получим:

\[\frac{m}{k_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{k_1}\]

Теперь можем избавиться от \(m\):

\[\frac{1}{k_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{k_1}\]

И, наконец, найдем \(k_2\):

\[k_2 = 4 \cdot k_1\]

Таким образом, чтобы период колебаний груза стал в 2 раза меньше, необходимо выбрать пружину с жесткостью, равной 4-кратному значению жесткости исходной пружины.