Когда BD перпендикулярен плоскости α, если угол ВАD равен 30 градусов, а угол BAD равен 45 градусов, какова меньшая

Inna

67

Дано: \(\angle BAD = 45^\circ\) и \(\angle CAD = 30^\circ\).

Чтобы найти проекции \(AD\) и \(DC\) на плоскость \(\alpha\), давайте сначала построим рисунок задачи.

1. Проведем перпендикуляр \(BD\) к плоскости \(\alpha\), пересекающий ее в точке \(D\), как показано на рисунке.

2. Обозначим точку пересечения \(AD\) с плоскостью \(\alpha\) как точку \(C\).

3. Рассмотрим треугольник \(ABD\). Из условия задачи у нас уже есть информация о двух углах этого треугольника: \(\angle BAD = 45^\circ\) и \(\angle ВАD = 30^\circ\).

4. Теперь рассмотрим треугольник \(ADC\). Мы знаем, что \(BD\) перпендикулярен к плоскости \(\alpha\), поэтому угол \(\angle CAD\) также равен \(30^\circ\).

5. Из свойств треугольника \(\angle ACD = 90^\circ\), так как это прямой угол.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник \(ACD\), в котором мы знаем угол \(30^\circ\) и гипотенузу \(AD\). Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти проекции \(AD\) и \(DC\).

Пусть \(x\) - меньшая из проекций \(AD\) и \(DC\) на плоскость \(\alpha\).

Так как \(\angle CAD = 30^\circ\), мы можем записать:
\[
\begin{aligned}
\cos(30^\circ) &= \frac{x}{AD} \\
\frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{x}{AD} \\
x &= \frac{AD \cdot \sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
\]

Теперь найдем проекцию \(DC\). Из прямоугольного треугольника \(ACD\) можно записать:
\[
\begin{aligned}
\sin(30^\circ) &= \frac{x}{DC} \\
\frac{1}{2} &= \frac{x}{DC} \\
x &= DC / 2
\end{aligned}
\]

Теперь сравним выражения для \(x\):
\[
\frac{AD \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{DC}{2}
\]

Умножим обе стороны на 2:
\[
AD \cdot \sqrt{3} = DC
\]

Таким образом, меньшая из проекций \(AD\) и \(DC\) на плоскость \(\alpha\) равна \(AD \cdot \sqrt{3}\).