Когда и на каком расстоянии от пристани теплоходы с одинаковыми скоростями 30 и 40 км/ч встретятся друг с другом, если

Звездная_Ночь_1074

36

Данная задача является классической задачей о движении и встрече двух тел. Для ее решения нам понадобится использовать формулы времени и расстояния.

Воспользуемся следующими обозначениями:
- \(t_1\) - время, через которое первый теплоход встретит второй теплоход (измеряется в часах);
- \(d_1\) - расстояние, которое пройдет первый теплоход за время \(t_1\) (измеряется в километрах);
- \(t_2\) - время, через которое второй теплоход встретит первый теплоход (измеряется в часах);
- \(d_2\) - расстояние, которое пройдет второй теплоход за время \(t_2\) (измеряется в километрах).

Сначала найдем время и расстояние, которые пройдет каждый теплоход от момента отхода от пристани до момента встречи.

1. По условию известно, что первый теплоход отошел от пристани на 2 часа раньше второго теплохода. То есть первый теплоход двигается в течение времени \(t_1 + 2\) часов, а второй теплоход двигается в течение времени \(t_2\) часов.

2. Теперь запишем формулы для расчета расстояния, пройденного каждым теплоходом. Используем формулу \(d = v \cdot t\), где \(d\) - расстояние, \(v\) - скорость, \(t\) - время.

Для первого теплохода: \(d_1 = 30 \cdot (t_1 + 2)\) (так как его скорость равна 30 км/ч).

Для второго теплохода: \(d_2 = 40 \cdot t_2\) (так как его скорость равна 40 км/ч).

3. Поскольку оба теплохода встречаются в одной точке, то расстояние, которое пройдет первый теплоход, должно быть равно расстоянию, которое пройдет второй теплоход. Имеем уравнение \(d_1 = d_2\).

Подставляем выражения для \(d_1\) и \(d_2\):
\(30 \cdot (t_1 + 2) = 40 \cdot t_2\).

4. Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной, и мы можем решить его относительно этой неизвестной.

Раскрываем скобки: \(30t_1 + 60 = 40t_2\).

Переносим все члены с \(t_2\) на одну сторону и все члены с \(t_1\) на другую: \(30t_1 - 40t_2 = -60\).

Далее делим обе части уравнения на 10, чтобы упростить его: \(3t_1 - 4t_2 = -6\).

5. Теперь у нас получилось уравнение, в котором две неизвестные. Но у нас есть еще один факт, который нам поможет: время, через которое первый теплоход встретит второй, на 2 часа больше времени, через которое второй теплоход встретит первый. Имеем уравнение \(t_1 = t_2 + 2\).

6. Подставляем \(t_1\) в уравнение из пункта 5: \(3(t_2 + 2) - 4t_2 = -6\).

Раскрываем скобки: \(3t_2 + 6 - 4t_2 = -6\).

Далее объединяем слагаемые: \(-t_2 + 6 = -6\).

Переносим -t_2 на другую сторону: \(6 = -6 + t_2\).

Упрощаем: \(6 = t_2 - 6\).

Переносим -6 на другую сторону: \(12 = t_2\).

7. Теперь, когда мы нашли \(t_2\), можем найти \(t_1\).

Используем уравнение \(t_1 = t_2 + 2\): \(t_1 = 12 + 2 = 14\).

8. Таким образом, мы нашли время, через которое теплоходы встретятся. Второй теплоход встретит первый через 12 часов после своего отхода от пристани, а первый теплоход встретит второй через 14 часов после своего отхода от пристани.

Теперь осталось только найти расстояние, на котором они встретятся. Для этого подставим найденные значения \(t_1\) или \(t_2\) в соответствующую формулу для расчета расстояния.

Для первого теплохода: \(d_1 = 30 \cdot (t_1 + 2) = 30 \cdot (14 + 2) = 30 \cdot 16 = 480\) (километров).

Для второго теплохода: \(d_2 = 40 \cdot t_2 = 40 \cdot 12 = 480\) (километров).

Таким образом, теплоходы встретятся на расстоянии 480 километров от пристани. Встреча произойдет через 14 часов после отхода первого теплохода и через 12 часов после отхода второго теплохода.