Контрольная работа №4 Тема: Свойства функций и их графики Вариант - 1 1. Если дана зависимость между переменными x

Матвей

62

Решение:

1. а) Для заданного уравнения 5x + 2y = 1 можно явно выразить y:

\[y = \frac{1 - 5x}{2}\]

Полученная зависимость позволяет определить y как функцию от x.

Построим график этой функции:


б) Уравнение x + y = 1 можно переписать в виде:

\[y = 1 - x\]

Получаем явную функцию, определяющую y как функцию от x.

Построим график этой функции:


в) Данное уравнение \(\frac{x}{y} = \frac{y}{x}\) можно переписать в виде:

\[x^2 = y^2\]

Из этого уравнения мы можем выразить y через x и получить явную функцию:

\[y = \pm x\]

В данном случае имеем две функции, определяющие y как функцию от x.

Построим графики данных функций:


2. а) Область определения функции \(f(x) = \frac{x}{x+4}\) определяется условиями, при которых знаменатель \(x+4\) не равен нулю, так как деление на ноль не определено. Решим уравнение \(x+4=0\):

\[x = -4\]

Значит, область определения функции - все действительные числа, исключая -4:

\[D: (-\infty, -4) \cup (-4, +\infty)\]

б) Область определения функции \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-2}\) определяется условиями, при которых корень \(\sqrt{x}\) существует и знаменатель \(x-2\) не равен нулю. Рассмотрим эти условия:

- Корень \(\sqrt{x}\) существует только при \(x \geq 0\), так как отрицательное число под корнем не имеет смысла.

- Знаменатель \(x-2\) не равен нулю только при \(x \neq 2\).

Следовательно, область определения функции - все действительные числа, большие или равные нулю, за исключением 2:

\[D: [0, 2) \cup (2, +\infty)\]

3. Для функции \(f(x) = \sqrt{x+9}\) найдем значения при различных значениях x:

- При x = 1: \(f(1) = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}\)
- При x = -3: \(f(-3) = \sqrt{-3+9} = \sqrt{6}\)
- При x = t/2: \(f(t/2) = \sqrt{\frac{t}{2}+9}\)
- При x = t+1: \(f(t+1) = \sqrt{t+1+9} = \sqrt{t+10}\)
- При x = \(\sqrt{t}\): \(f(\sqrt{t}) = \sqrt{\sqrt{t}+9}\)
- При x = -4: \(f(-4) = \sqrt{-4+9} = \sqrt{5}\)
- При x = 1/t: \(f(1/t) = \sqrt{\frac{1}{t}+9}\)

4. Для функции \(f(x) = 2x - 3\) с областью определения \(D: \mathbb{R}\) найдем обратную функцию \(g(x)\) в виде \(y = g(x)\) и определим ее область определения.

Для нахождения обратной функции заменим \(f(x)\) на \(y\):

\[y = 2x - 3\]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\[x = \frac{y+3}{2}\]

Получается обратная функция \(y = \frac{x+3}{2}\), где \(y\) является функцией от \(x\).

Область определения обратной функции \(g(x)\) такая же, как и у \(f(x)\), то есть \(D: \mathbb{R}\).