Що буде співвідношенням, в якому переріз поділяє об єм піраміди pabcd? У піраміди pabcd, яка має р у вершині і переріз

Pyatno

7

Щоб знайти співвідношення, в якому переріз поділяє об"єм піраміди \(pabcd\), нам потрібно використати властивості подібних трикутників та співвідношення між їхніми сторонами і об"ємами.

Для початку, давайте розглянемо співвідношення між довжиною сторони, яку переріз поділяє, і відповідними частинами об"єму піраміди. Помітимо, що сторона \(av\) і сторона \(bc\) є паралельними, оскільки вони є сторонами однієї площини піраміди. То ж сторона \(av\) поділяє піраміду \(pabcd\) на дві піраміди: \(pavd\) та \(pvcdb\).

Застосуємо тепер теорему про подібність трикутників. Враховуючи, що сторона \(av\) поділяє піраміду \(pabcd\) на дві подібні піраміди, маємо співвідношення між довжиною сторони \(av\) та відповідними частинами об"єму піраміди:
\[
\frac{{V_{pavd}}}{{V_{pabcd}}} = \left(\frac{{av}}{{ab}}\right)^3
\]
\[
\frac{{V_{pvcdb}}}{{V_{pabcd}}} = \left(\frac{{cv}}{{cb}}\right)^3
\]

Тепер нам потрібно знайти співвідношення між довжиною сторони \(cv\) і відповідними частинами об"єму піраміди. Оскільки переріз проходить через середину бокового ребра, то довжина сторони \(cv\) дорівнює половині довжини бокового ребра піраміди, тобто \(\frac{{cb}}{2}\).

Таким чином, співвідношення між довжиною сторони \(cv\) і відповідними частинами об"єму піраміди можна записати так:
\[
\frac{{V_{pvcdb}}}{{V_{pabcd}}} = \left(\frac{{\frac{{cb}}{2}}}{{cb}}\right)^3
\]

Тепер, знаючи обидва співвідношення, ми можемо обчислити співвідношення між відповідними частинами об"єму піраміди:
\[
\frac{{\left(\frac{{av}}{{ab}}\right)^3}}{{\left(\frac{{\frac{{cb}}{2}}}{{cb}}\right)^3}} = \frac{{(2 \cdot av)^3}}{{ab^3}} = \frac{{8 \cdot av^3}}{{ab^3}}
\]

Отже, співвідношення, в якому переріз поділяє об"єм піраміди \(pabcd\), є \(\frac{{8 \cdot av^3}}{{ab^3}}\).