Может ли произведение 103 последовательных натуральных чисел быть неделимым на 103? На 618? На 642? На 3193?

Vechernyaya_Zvezda

9

Давайте разберемся с каждым вопросом по порядку.

1. Может ли произведение 103 последовательных натуральных чисел быть неделимым на 103?
Для начала, давайте представим произведение 103 последовательных натуральных чисел в виде $N=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 103$. Заметим, что каждый сомножитель в этом произведении является натуральным числом, а значит делится на 1 и на само себя.

Теперь обратимся непосредственно к вопросу о делимости произведения на 103. Если мы разделим каждый из сомножителей на 103 ($1÷103,2÷103,\dots ,103÷103$), то получим следующее выражение:
$$N=\left(\frac{1}{103}\right)\cdot \left(\frac{2}{103}\right)\cdot \dots \cdot \left(\frac{103}{103}\right)$$

Заметим, что в числителях каждой дроби стоят последовательные числа от 1 до 103. Таким образом, каждое число от 1 до 103 будет являться множителем в числителе соответствующей дроби.

Однако, если мы внимательно посмотрим на эти дроби, то заметим, что в знаменателе каждой дроби стоит число 103, а значит все они будут равны 1, так как каждое число делится на само себя. То есть, мы получим следующее выражение:
$$N=1\cdot 1\cdot \dots \cdot 1=1$$

Таким образом, произведение 103 последовательных натуральных чисел будет равно 1, что является неделимым числом на 103.

2. А что насчет делимости на 618?
Аналогично предыдущему рассуждению, если мы разделим каждый из сомножителей на 618, то получим следующее выражение:
$$N=\left(\frac{1}{618}\right)\cdot \left(\frac{2}{618}\right)\cdot \dots \cdot \left(\frac{618}{618}\right)$$

Снова заметим, что в знаменателе каждой дроби стоит число 618, а значит все они будут равны 1. То есть, мы получим:
$$N=1\cdot 1\cdot \dots \cdot 1=1$$

Таким образом, произведение 103 последовательных натуральных чисел также будет равно 1, что является неделимым числом на 618.

3. Что произойдет с делимостью на 642?
Если мы повторим аналогичное рассуждение для произведения с 642 сомножителями, то получим следующее:
$$N=\left(\frac{1}{642}\right)\cdot \left(\frac{2}{642}\right)\cdot \dots \cdot \left(\frac{642}{642}\right)$$

Тут мы получим, что все дроби равны 1, и произведение будет также равно 1, что является неделимым числом на 642.

4. Что произойдет с делимостью на 3193?
Давайте применим аналогичные рассуждения для произведения с 3193 сомножителями:
$$N=\left(\frac{1}{3193}\right)\cdot \left(\frac{2}{3193}\right)\cdot \dots \cdot \left(\frac{3193}{3193}\right)$$

В этом случае также все дроби будут равны 1, и произведение будет равно 1, что является неделимым числом на 3193.

Таким образом, можно сделать вывод, что во всех четырех случаях произведение 103 последовательных натуральных чисел будет неделимым на соответствующие числа: 103, 618, 642 и 3193.