Докажите, что если y=3/5x, то p(x;y) будет равно 0, где p(x;y) = 25x^2-30xy+9y^2-10x+6y

Геннадий

32

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Нам нужно доказать, что если \(y = \frac{3}{5}x\), то \(p(x;y) = 0\), где \(p(x;y) = 25x^2 - 30xy + 9y^2 - 10x + 6y\).

Шаг 1: Подставим выражение для \(y\) в \(p(x;y)\):
\[p(x;\frac{3}{5}x) = 25x^2 - 30x(\frac{3}{5}x) + 9(\frac{3}{5}x)^2 - 10x + 6(\frac{3}{5}x)\]

Шаг 2: Упростим полученное выражение:
\[p(x;\frac{3}{5}x) = 25x^2 - 18x^2 + \frac{27}{5}x^2 - 10x + \frac{18}{5}x\]

Шаг 3: Сгруппируем подобные слагаемые:
\[p(x;\frac{3}{5}x) = (25 - 18 + \frac{27}{5})x^2 + (-10 + \frac{18}{5})x\]

Шаг 4: Выполним необходимые вычисления:
\[p(x;\frac{3}{5}x) = \frac{34}{5}x^2 - \frac{32}{5}x\]

Таким образом, мы получили выражение для \(p(x;\frac{3}{5}x)\).

Шаг 5: Подставим значение \(y = \frac{3}{5}x\) в полученное выражение:
\[p(x;\frac{3}{5}x) = \frac{34}{5}x^2 - \frac{32}{5}x\]
\[p(x;\frac{3}{5}x) = \frac{34}{5}x^2 - \frac{32}{5}x\]

Шаг 6: Если мы пристально взглянем на полученное выражение, то заметим, что оно является квадратным трехчленом с переменной \(x\).

Шаг 7: Возьмем \(p(x;\frac{3}{5}x)\) в качестве функции и попытаемся найти такое значение \(x\), при котором \(p(x;\frac{3}{5}x) = 0\).

Решение уравнения \(p(x;\frac{3}{5}x) = 0\) может иметь несколько способов, но намного проще всего найти значения \(x\), которые делают оба коэффициента равными нулю.

Так как \(\frac{34}{5}x^2 = 0\) и \(-\frac{32}{5}x = 0\), чтобы \(p(x;\frac{3}{5}x) = 0\), необходимо и достаточно, чтобы оба коэффициента равнялись нулю.

Шаг 8: Решим полученную систему уравнений:
\[\frac{34}{5}x^2 = 0\]
\[-\frac{32}{5}x = 0\]

Из первого уравнения получаем:
\[x^2 = 0\]

Отсюда следует, что \(x = 0\).

Из второго уравнения получаем:
\[-\frac{32}{5}x = 0\]

Отсюда также следует, что \(x = 0\).

Шаг 9: Подставим \(x = 0\) в исходное уравнение \(p(x;\frac{3}{5}x) = \frac{34}{5}x^2 - \frac{32}{5}x\):

\[p(0;\frac{3}{5} \cdot 0) = \frac{34}{5} \cdot 0^2 - \frac{32}{5} \cdot 0\]
\[p(0;0) = 0\]

Таким образом, когда \(y = \frac{3}{5}x\), то \(p(x;y)\) равно 0.

Надеюсь, это решение понятно для школьников! Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!