Можете убедиться в следующем: если a и b - взаимно простые числа, то всегда существуют такие p и q, при которых числа

Мурка_6495

41

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей!

Для начала, давайте вспомним определение взаимно простых чисел. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен единице. То есть, если \(\text{НОД}(a, b) = 1\).

Предположим, что \(a\) и \(b\) являются взаимно простыми числами. Теперь мы хотим найти такие числа \(p\) и \(q\), чтобы для любого натурального числа \(n\) числа \(p + na\) и \(q + nb\) тоже были взаимно простыми.

Давайте рассмотрим следующее число:

\[d = \text{НОД}(p + ka, q + kb)\]

Мы хотим, чтобы для любого \(n\) число \(p + na\) и \(q + nb\) также были взаимно простыми. Что означает, что \(\text{НОД}(p + na, q + nb) = 1\) для любого \(n\).

Теперь обратимся к нашему предположению о том, что \(a\) и \(b\) являются взаимно простыми числами. Это означает, что \(\text{НОД}(a, b) = 1\).

Подставим \(n = 0\):

\[\text{НОД}(p + 0a, q + 0b) = \text{НОД}(p, q) = 1\]

Так как \(\text{НОД}(p, q) = 1\), следует, что \(p\) и \(q\) тоже являются взаимно простыми числами.

Теперь подставим \(n = 1\):

\[\text{НОД}(p + a, q + b) = 1\]

Получается, что \((p + a)\) и \((q + b)\) тоже являются взаимно простыми числами.

Продолжая этот процесс, мы можем утверждать, что для любого натурального числа \(n\) числа \(p + na\) и \(q + nb\) останутся взаимно простыми.

Таким образом, утверждение задачи верно: если \(a\) и \(b\) - взаимно простые числа, то всегда существуют такие \(p\) и \(q\), при которых числа \(p + na\) и \(q + nb\) будут взаимно простыми для любого натурального \(n\).

Я надеюсь, что этот подробный ответ поможет вам понять задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!