Можно ли записать каждое натуральное число в виде периодической десятичной дроби с бесконечным периодом?

Анна

42

Да, каждое натуральное число можно записать в виде периодической десятичной дроби с бесконечным периодом. Давайте рассмотрим пошаговое доказательство этого факта.

Предположим, что у нас есть некоторое натуральное число \(n\). Мы будем находить его представление в виде периодической десятичной дроби следующим образом.

1. Сначала разделим число \(1\) на \(n\). Получим частное \(q_0\) и остаток \(r_0\). Это можно сделать с помощью деления в столбик, как в школе.

2. Пусть представление числа \(1/n\) имеет вид:
\[
\frac{1}{n} = 0,q_0r_1r_2\ldots r_k.
\]
Здесь \(q_0\) - это целая часть десятичной дроби, а \(r_1r_2\ldots r_k\) - периодическая часть.

3. Продолжим деление, помножив \(r_0\) на \(10\). Получим новый остаток \(r_1\). Поскольку остаток \(r_1\) также является натуральным числом, мы можем записать:
\[
\frac{1}{n} = 0,q_0r_1r_2\ldots r_k.
\]
Теперь \(r_1\) играет роль новой целой части десятичной дроби.

4. Повторяем процедуру деления, умножая текущий остаток на \(10\) и получая следующий остаток \(r_2\). Записываем полученное число в виде:
\[
\frac{1}{n} = 0,q_0r_1r_2\ldots r_k.
\]

5. Продолжаем деление и нахождение следующих остатков до тех пор, пока мы не получим такой же остаток, каким уже ранее встречались в периодической части записи. Когда это произойдет, мы обнаружим, что периодическая часть начинает повторяться.

Таким образом, любое натуральное число \(n\) можно записать в виде периодической десятичной дроби с бесконечным периодом. Для доказательства этого факта используется метод деления чисел в столбик, и он основан на особенностях десятичной системы счисления.

Пример:
Давайте рассмотрим число \(n = 7\). Последовательность делений и получения остатков будет следующей:
\[
\begin{align*}
\frac{1}{7} &= 0.142857142857\ldots \\
\end{align*}
\]

Мы видим, что цифры 142857 повторяются бесконечно, что и является периодической частью записи числа \(1/7\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, что каждое натуральное число можно записать в виде периодической десятичной дроби с бесконечным периодом. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!