На дне сосуда с водой, у которой показатель преломления равен 1,3, находится точечный источник света. Какова глубина

Золото

50

Для решения этой задачи воспользуемся законом преломления света, который гласит: отношение синусов угла падения и синусов угла преломления при переходе света из одной среды в другую постоянно и равно отношению показателей преломления данных сред. Формула для этого закона выглядит следующим образом:

\[ \frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}} \]

Где:
\(\theta_1\) - угол падения света на границу раздела среды,
\(\theta_2\) - угол преломления света,
\(n_1\) - показатель преломления первой среды (в данном случае воздуха),
\(n_2\) - показатель преломления второй среды (в данном случае воды).

В нашей задаче, свет переходит из воды (с \(n_2 = 1,3\)) в воздух (с \(n_1 = 1\)), поэтому формула принимает вид:

\[ \frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{1,3}}{{1}} \]

Заметим, что у нас имеется полукруг на границе раздела, так как лучи охватывают круг радиусом 2 см. Полукруг является половиной от целого круга, поэтому угол падения (\(\theta_1\)) будет равен половине угла между лучами, выходящими из воды, т.е. \(\theta_1 = \frac{\alpha}{2}\).

Теперь нам нужно найти выражение для \(\theta_2\), угла преломления света. Обратимся снова к закону преломления света, но уже для полукруга:

\[ \frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{1,3}}{{1}} \]

\[ \frac{{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}{{\sin(\theta_2)}} = 1,3 \]

Теперь, чтобы найти глубину (расстояние от дна сосуда до источника света), проясним следующий момент: угол преломления света (\(\theta_2\)) является углом между лучом, выходящим из воды, и вертикальной линией. Для полукруга его можно найти, как угол, смежный с углом \(\frac{\alpha}{2}\), т.е. \(\theta_2 = \frac{\alpha}{2}\).

Теперь у нас есть:

\[ \frac{{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}{{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}} = 1,3 \]

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от синусов:

\[ \left(\frac{{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}{{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}\right)^2 = 1,3^2 \]

\[ 1 = 1,69 \]

Очевидно, это уравнение не имеет решения. Таким образом, можно заключить, что задача не имеет решения с заданными условиями.

Ответ: Глубина расположения источника света в данной задаче не может быть определена из-за отсутствия решения.