На доске размером 21×21 находится фишка в центральной клетке. В каждом ходе фишку можно передвинуть в соседнюю клетку

Танец

29

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип комбинаторики, а именно принцип умножения.

Давайте посмотрим на возможные позиции, в которых фишка может оказаться после каждого хода.

1. После первого хода, фишка может оказаться в одной из 4 соседних клеток.

2. После второго хода, фишка может оказаться в одной из 4 соседних клеток. Но учитывая, что она уже находится в одной из соседних клеток, существует только 3 новых возможных клетки, в которых фишка может оказаться.

3. После третьего хода, фишка может оказаться в одной из 4 соседних клеток. Но учитывая, что она уже находится в одной из соседних клеток, существует только 3 новых возможных клетки, в которых фишка может оказаться.

4. Продолжая этот процесс для каждого хода, находим, что после каждого хода существует 4 возможных позиции для фишки, а после каждого последующего хода - на одну возможную позицию меньше.

Теперь мы можем использовать принцип умножения: чтобы найти общее количество возможных позиций после 10 ходов, нужно перемножить количество возможных позиций после каждого хода.

\[Количество\_позиций = 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0\]

Заметим, что после 7-го хода позиция фишки будет определена только одним способом. А после 8-го, 9-го, 10-го ходов фишка уже не сможет перемещаться, так как все соседние клетки будут заняты. Поэтому, соответствующие коэффициенты в нашем выражении равны 1 для 7-го хода и 0 для остальных.

Произведение вычисляем по формуле:

\[Количество\_позиций = 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 144\]

Таким образом, существует 144 возможных позиций, в которых фишка может оказаться после 10 ходов.