На графике, изобразите неравенство Корень

Мистическая_Феникс

45

Хорошо, давайте решим задачу пошагово. Для начала, давайте объясним, что такое неравенство с корнем. Неравенство с корнем - это математическое неравенство, в котором присутствует корень. Корень - это операция, обратная возведению в квадрат.

Итак, если у нас есть неравенство с корнем, то мы будем решать его, как обычное неравенство, с одним исключением. Если мы возводим обе части неравенства в квадрат, мы должны учитывать, что корень обращается в квадрат, и мы получим два решения.

Теперь, когда мы поняли основы неравенства с корнем, перейдем к решению задачи. Допустим, у нас есть неравенство \(\sqrt{x} < 3\).

1. Начнем с выделения корня на отдельную сторону, чтобы избавиться от корня:
\(\sqrt{x} - 3 < 0\).

2. Теперь воспользуемся свойством корня, которое говорит, что корень из числа меньше нуля не определен. Это означает, что выражение \(\sqrt{x} - 3\) должно быть меньше нуля:
\(\sqrt{x} - 3 < 0\).

3. Для упрощения неравенства, возведем обе части в квадрат, но помните, что должны учесть два решения:
\((\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 3) < 0^2\).

4. Применим формулу разности квадратов:
\((\sqrt{x})^2 - 3\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 3^2 < 0\).

5. Упростим выражение:
\(x - 6\sqrt{x} + 9 < 0\).

Таким образом, мы получили новое неравенство \(x - 6\sqrt{x} + 9 < 0\), которое должно выполняться для решения исходного неравенства \(\sqrt{x} < 3\).

Продолжим решение нового неравенства:

6. Разложим полученное неравенство на множители:
\((\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 3) < 0\).

7. Решим полученное квадратное неравенство:
\((\sqrt{x} - 3) < 0\) и \((\sqrt{x} - 3) < 0\).

8. Для каждой скобки по отдельности найдем интервалы значений переменной \(x\):
Для \(\sqrt{x} - 3 < 0\):
\(\sqrt{x} < 3\),
\(x < 9\).

Для \(\sqrt{x} - 3 > 0\):
\(\sqrt{x} > 3\),
\(x > 9\).

Таким образом, мы получили два интервала значений переменной \(x\): \(x < 9\) и \(x > 9\). Ответом на исходное неравенство \(\sqrt{x} < 3\) является объединение этих двух интервалов.

И вот, наконец, график неравенства \(\sqrt{x} < 3\), где синяя область представляет все значения переменной \(x\), для которых неравенство выполняется:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Переменная } x & \text{Неравенство }\sqrt{x} < 3 \\
\hline
x < 9 & \sqrt{x} < 3 \\
\hline
x > 9 & \sqrt{x} < 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, график неравенства \(\sqrt{x} < 3\) состоит из двух интервалов: \((-\infty, 9)\) и \((9, +\infty)\), где неравенство выполняется.