На каких значениях x и y фирма получит максимальный доход от продажи товаров, при условии, что фирма может производить

Чайный_Дракон

56

Для решения этой задачи нам необходимо определить функцию дохода от продажи товаров, а затем найти значения переменных x и y, при которых доход будет максимальным.

Пусть x обозначает количество товара x, а y - количество товара y, которые производит фирма.

Цена за единицу товара x составляет 20, а цена за единицу товара y составляет 30. Таким образом, цена за x единиц товара x равна 20x, а цена за y единиц товара y равна 30y.

Затраты на производство определяются уравнением c(x, y) = x^2 + 4y. Мы должны учесть ограничение в 400 единиц на затраты на производство.

Таким образом, доход от продажи товаров может быть определен следующим образом: доход = (цена x * количество x) + (цена y * количество y) - затраты на производство.

Математически, это можно записать следующим образом:
D(x, y) = (20x) + (30y) - (x^2 + 4y)

Для нахождения максимального дохода, мы должны найти максимум функции D(x, y) при ограничениях на переменные x и y.

Так как у нас есть ограничение на количество товара x (не более 20 единиц) и количество товара y (не более 6 единиц), мы можем записать дополнительные ограничения в виде:
0 <= x <= 20 и 0 <= y <= 6

Теперь мы можем найти максимальный доход, решив эту оптимизационную задачу. Я рассчитаю ответ при помощи математического аппарата.

Для начала, найдем частные производные функции D(x, y) по переменным x и y:
\(\frac{\partial D}{\partial x} = 20 - 2x\)
\(\frac{\partial D}{\partial y} = 30 - 4\)

Затем, приравняем эти частные производные к нулю и решим систему уравнений:
\(\frac{\partial D}{\partial x} = 0\) и \(\frac{\partial D}{\partial y} = 0\)

Система уравнений имеет вид:
\(20 - 2x = 0\) и \(30 - 4y = 0\)

Решив эту систему, мы получим значения переменных x и y, на которых доход будет максимальным.

\[
20 - 2x = 0 \Rightarrow -2x = -20 \Rightarrow x = 10
\]
\[
30 - 4y = 0 \Rightarrow -4y = -30 \Rightarrow y = 7.5
\]

Однако, заметим, что значение y равно 7.5, что выходит за пределы ограничений в задаче (0 <= y <= 6). Таким образом, фирма не сможет произвести 7.5 единиц товара y.

Поэтому, максимальный доход будет достигаться при значениях:
x = 10 и y = 6 (максимальное значение, удовлетворяющее ограничению)

Определенные значения x = 10 и y = 6 гарантируют, что фирма производит не более 20 единиц товара x и не более 6 единиц товара y, а также удовлетворяют ограничению на затраты в 400 единиц.

Таким образом, чтобы фирма получила максимальный доход от продажи товаров, она должна производить 10 единиц товара x и 6 единиц товара y.