На каком интервале [3п/2;3п] решите уравнение 2cos(x+П/4)=tgx+ctgx?

Пылающий_Дракон

58

Для решения данного уравнения, мы будем искать значения \(x\) на заданном интервале, которые удовлетворяют уравнению \(2\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \tan x + \cot x\).

Давайте начнем:

1. Преобразуем правую часть уравнения. Воспользуемся тригонометрическими тождествами для котангенса: \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\). Используем это тождество, чтобы переписать уравнение:

\[2\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \tan x + \frac{1}{\tan x}\]

2. Введем вспомогательную переменную. Обозначим \(\tan x\) за \(t\), тогда уравнение примет вид:

\[2\cos(x + \frac{\pi}{4}) = t + \frac{1}{t}\]

3. Продолжим преобразования. Используем тригонометрические формулы для косинуса суммы:

\(\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x - \sin x)\)

Подставим это значение в уравнение:

\[2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x - \sin x) = t + \frac{1}{t}\]

Упростим уравнение:

\[\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = t + \frac{1}{t}\]

4. Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cdot (t + \frac{1}{t})\]

5. Раскроем скобки в правой части:

\[\cos x - \sin x = \sqrt{2}t + \frac{\sqrt{2}}{t}\]

6. Приведем к общему знаменателю:

\[\cos x - \sin x = \frac{\sqrt{2}t^2 + \sqrt{2}}{t}\]

7. Умножим обе части уравнения на \(t\):

\(t \cdot \cos x - t \cdot \sin x = \sqrt{2}t^2 + \sqrt{2}\)

8. Приведем подобные члены и перепишем уравнение в стандартной форме:

\(\sqrt{2}t^2 - t \cdot \cos x - t \cdot \sin x - \sqrt{2} = 0\)

9. Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной \(t\):

\[\sqrt{2}t^2 - t \cdot \cos x - t \cdot \sin x - \sqrt{2} = 0\]

10. Теперь, для каждого значения \(t\), найденного в предыдущем шаге, решим уравнение \(\tan x = t\) для \(x\).

11. Наконец, найденные значения \(x\) проверим на наше исходное условие задачи: \(x \in [\frac{3\pi}{2}, 3\pi]\). Только те значения \(x\), которые попадают в этот интервал, будут являться решениями задачи.

Таким образом, для решения данного уравнения на интервале \([\frac{3\pi}{2}, 3\pi]\), необходимо следовать пошаговому алгоритму, описанному выше. Удачи в решении задачи! Если у вас возникнут вопросы по любому из шагов, не стесняйтесь задавать их.