На каком расстоянии от центра окружности Ω находится центр окружности ω при инверсии относительно окружности Ω радиуса

Золотой_Ключ

64

Для решения этой задачи нам потребуется применить основные свойства инверсии. Давайте посмотрим на каждую из окружностей и определим их связь при инверсии.

Пусть центр окружности Ω имеет координаты (0, 0), а центр окружности ω имеет координаты (a, b). Поскольку радиус окружности Ω равен 1, то по определению инверсии расстояние между центром окружности Ω и центром окружности ω будет равно \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Теперь, когда у нас есть представление о связи между окружностями Ω и ω, давайте рассмотрим результат инверсии для данных окружностей.

Из условия задачи известно, что окружность ω с радиусом 1/15 перешла в окружность ω′ c радиусом r′.

Согласно основным свойствам инверсии, изменение радиуса окружности при инверсии происходит следующим образом:

\[r" = \frac{r_0^2}{r}\],

где \(r_0\) - радиус исходной окружности, а r - расстояние от центра окружности Ω до центра окружности ω.

В данной задаче \(r_0 = \frac{1}{15}\), поэтому:

\[r" = \frac{\left(\frac{1}{15}\right)^2}{r}\].

Подставляя значение r, получаем:

\[r" = \frac{\frac{1}{225}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{225 \cdot \sqrt{a^2 + b^2}}\].

Таким образом, центр окружности ω′ находится на расстоянии \(r" = \frac{1}{225 \cdot \sqrt{a^2 + b^2}}\) от центра окружности Ω при инверсии.