На каком расстоянии от диска находится точечный источник света, если он находится на расстоянии х0 = 1М от диска

Орех

32

Для решения данной задачи, нам понадобятся формула площади окружности и знание о свойствах теней.

Из условия задачи мы знаем, что расстояние от точечного источника света до диска составляет \(x_0 = 1\) метр, а экран находится на расстоянии \(x = 0.2\) метра от диска. Также, скорость удаления экрана от диска составляет \(v = 1\) сантиметр в секунду.

Начнем с вычисления радиуса диска. Радиус диска обозначим как \(r\). Так как у нас нет информации о радиусе диска в условии, будем предполагать, что его необходимо найти.

Из геометрии задачи мы можем понять, что расстояние от точечного источника света до диска равно сумме расстояния от источника света до экрана и расстояния от экрана до диска.

То есть, \(x_0 = x + r\).

Также, чтобы найти время \(t\), необходимое для увеличения площади тени в 4 раза, мы должны знать, как меняется площадь тени по мере удаления экрана.

Площадь тени на экране можно вычислить по формуле площади окружности \(S = \pi r^2\).

Согласно условию задачи, площадь тени увеличивается в 4 раза. Из этого можно написать следующее уравнение:

\(4S = \pi (r + vt)^2\)

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить совместно для нахождения значения радиуса \(r\) и времени \(t\).

Разрешите мне предоставить шаги и решение в формате таблицы для удобства:

| Шаг | Решение |
|-------|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 1 | Найдем радиус \(r\): \(x_0 = x + r\) |
| 2 | Подставим значения: \(1 = 0.2 + r\) |
| 3 | Решим уравнение: \(r = 1 - 0.2\) |
| 4 | Вычисляем радиус: \(r = 0.8\) метра |
| 5 | Найдем время \(t\): \(4S = \pi (r + vt)^2\) |
| 6 | Подставим значения: \(4\pi (0.8 + (0.01 \cdot t))^2 = \pi r^2\) |
| 7 | Упростим уравнение: \((0.8 + 0.01 \cdot t)^2 = (0.4)^2\) |
| 8 | Разложим уравнение: \(0.8^2 + 0.016t + 0.0001t^2 = 0.16\) |
| 9 | Приведем квадратичное уравнение в стандартную форму: \(0.0001t^2 + 0.016t + (0.64 -0.16) = 0\) |
| 10 | Упростим уравнение: \(0.0001t^2 + 0.016t + 0.48 = 0\) |
| 11 | Решим квадратичное уравнение, используя формулу дискриминанта: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) |
| 12 | Подставим значения: \(t = \frac{-0.016 \pm \sqrt{0.016^2-4(0.0001)(0.48)}}{2(0.0001)}\) |
| 13 | Вычислим значения: \(t_1 \approx 41.6\) секунд и \(t_2 \approx -391.6\) секунд |
| 14 | Ответ: Округлим время до целых минут: \(t \approx 42\) минут. Ответ: Требуется примерно 42 минуты, чтобы площадь тени увеличилась в 4 раза. |

Таким образом, ответ на задачу составляет примерно 42 минуты, чтобы площадь тени на экране увеличилась в 4 раза.