На каком расстоянии от Солнца находится Сатурн, если он обращается вокруг Солнца за 29,46 лет, а Марс за 1,88 года

Oksana

16

Чтобы определить расстояние от Солнца до Сатурна, вам понадобятся два факта: период обращения Сатурна вокруг Солнца и расстояние Марса от Солнца. Давайте посмотрим на каждый из этих фактов и применим законы Кеплера для определения расстояния от Солнца до Сатурна.

Закон Кеплера о периодах планетных орбит гласит, что квадраты периодов обращения двух планет пропорциональны кубам полуосей их орбит.

В данной задаче у нас есть периоды обращения Сатурна и Марса. По условию, период обращения Сатурна составляет 29,46 лет, а период обращения Марса – 1,88 года.

Нам также дано, что среднее расстояние Марса от Солнца составляет 228.

Используем данную информацию и предположим, что \(\text{a}\) - полуось орбиты Сатурна, а \(\text{b}\) - полуось орбиты Марса.

Тогда по закону Кеплера:
\[\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{a_1^3}}{{a_2^3}}\]

Где \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения планет, а \(a_1\) и \(a_2\) - полуоси их орбит.

Теперь нам нужно найти расстояние от Солнца до Сатурна, то есть значение \(a_1\).

Заменяем значения в формуле:
\[\frac{{(29,46)^2}}{{1,88^2}} = \frac{{a_1^3}}{{228^3}}\]

Приводим выражение к нужному виду:
\[\frac{{866,2116}}{{3,5344}} = \frac{{a_1^3}}{{5929744}}\]

Упрощаем уравнение:
\[\frac{{866,2116}}{{3,5344}} = \frac{{a_1^3}}{{5929744}}\]
\[244,9434 = a_1^3\]

Теперь возьмем кубический корень от обеих сторон уравнения, чтобы получить значение \(a_1\):
\[a_1 = \sqrt[3]{244,9434}\]

Вычисляем это значения с помощью калькулятора:
\[a_1 \approx 6,247\]

Таким образом, расстояние от Солнца до Сатурна составляет около 6,247 единиц, где единицей может быть астрономическая единица (АЕ), которая равна примерно 149,6 миллионам километров.

Поэтому расстояние от Солнца до Сатурна составляет около 932,365 миллионов километров (6,247 * 149,6).