На каком расстоянии от верхней точки конуса находится параллельное основанию сечение, площадь которого составляет 1/16

Yagnenok

19

Для решения этой задачи нам понадобится использовать подобие фигур. Давайте представим, что верхнюю точку конуса и точку на основании, на которой находится сечение, соединяет прямая линия. Обозначим это расстояние как \(d\).

Так как наше сечение параллельно основанию конуса, его площадь будет пропорциональной площади основания. Мы знаем, что площадь сечения составляет 1/16 от площади основания. Таким образом, можно записать следующее соотношение:

\(\frac{{S_{сечения}}}{{S_{основания}}} = \frac{1}{16}\)

Теперь давайте выразим площадь сечения и основания с помощью радиуса основания \(R\):

\(S_{сечения} = \pi r_{сечения}^2\)
\(S_{основания} = \pi R^2\)

Мы имеем дело с простой пропорцией, поэтому можем записать:

\(\frac{{\pi r_{сечения}^2}}{{\pi R^2}} = \frac{1}{16}\)

Теперь, чтобы узнать, как связаны радиусы основания и сечения, нужно использовать подобие треугольников. Треугольники подобны, когда соответствующие их углы равны, а их стороны пропорциональны. В нашем случае, треугольники верхней и нижней частей конуса являются подобными, так как соответствующие углы равны 90 градусов.

Воспользуемся теоремой подобия треугольников, которая гласит:

\(\frac{{a}}{{A}} = \frac{{b}}{{B}} = \frac{{c}}{{C}}\)

Где \(a\) и \(A\) - стороны пропорциональные в первом треугольнике, \(b\) и \(B\) - стороны пропорциональные во втором треугольнике, и \(c\) и \(C\) - стороны пропорциональные в третьем треугольнике.

В нашем случае, \(a\) будет равно радиусу сечения \(r_{сечения}\), а \(A\) - радиусу основания \(R\), \(b\) будет равно высоте конуса \(h\), а \(B\) - \(d\).

Применяя теорему подобия, получим следующее соотношение:

\(\frac{{r_{сечения}}}{{R}} = \frac{{h - d}}{{h}}\)

Подставим известные значения:
\(h = 72 \, \text{см}\)

\(\frac{{r_{сечения}}}{{R}} = \frac{{72 - d}}{{72}}\)

Следовательно,
\(r_{сечения} = \frac{{R \cdot (72 - d)}}{{72}}\)

Теперь мы можем подставить это выражение в наше первое уравнение:

\(\frac{{\pi r_{сечения}^2}}{{\pi R^2}} = \frac{1}{16}\)

Подставляем выражение для \(r_{сечения}\):

\(\frac{{\pi \left(\frac{{R \cdot (72 - d)}}{{72}}\right)^2}}{{\pi R^2}} = \frac{1}{16}\)

Сокращаем \(\pi\):
\(\frac{{R \cdot (72 - d)^2}}{{72^2 \cdot R^2}} = \frac{1}{16}\)

Сокращаем \(R\):
\(\frac{{(72 - d)^2}}{{72^2 \cdot R}} = \frac{1}{16}\)

Домножаем обе стороны на \(72^2 \cdot R\):
\((72 - d)^2 = \frac{{1}}{{16}} \cdot 72^2 \cdot R\)

Раскрываем квадрат слева:
\(72^2 - 2 \cdot 72 \cdot d + d^2 = \frac{{1}}{{16}} \cdot 72^2 \cdot R\)

Далее, заменяем \(R\) на \(\frac{{h - d}}{{h}}\) и подставляем известные значения:
\(72^2 - 2 \cdot 72 \cdot d + d^2 = \frac{{1}}{{16}} \cdot 72^2 \cdot \left(\frac{{72 - d}}{{72}}\right)\)

Теперь остается решить получившееся квадратное уравнение относительно \(d\).