На каком расстоянии от заряда будет иметь модуль скорости каждой частицы, если одна из вершин равностороннего

Skvoz_Vremya_I_Prostranstvo

28

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Кулона и закон сохранения механической энергии.

1. Начнем с расчета силы взаимодействия между зарядами.
Закон Кулона гласит, что сила между двумя точечными зарядами \(F\) определяется следующим образом:
\[F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r_{12}^2}}\]
где \(k\) - постоянная Кулона (\(k = 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кл}^2\)),
\(q_1\) и \(q_2\) - заряды частиц,
\(r_{12}\) - расстояние между зарядами.

В нашей задаче \(q_1 = 40 \, \text{нкл}\), \(q_2 = q_3 = 10 \, \text{нкл}\). Мы можем найти модуль силы \(F_{12}\) между зарядами \(q_1\) и \(q_2\), а также между \(q_1\) и \(q_3\), используя данную формулу.

2. Чтобы найти расстояние \(r_{12}\) между зарядами \(q_1\) и \(q_2\), а также между \(q_1\) и \(q_3\), рассмотрим геометрию равностороннего треугольника. Заметим, что под каждым углом равностороннего треугольника находится заряд одинакового модуля \(q\).

Чтобы найти расстояние между центром треугольника и одной из его вершин, нам нужно найти высоту треугольника. Разделим равносторонний треугольник на два правильных треугольника и рисанем высоту. Пусть \(h\) - высота равностороннего треугольника.

Исходя из свойств равносторонних треугольников, стороны равностороннего треугольника связаны с его высотой следующим образом: \(a = \sqrt{3} \cdot h\).

В нашей задаче \(a = 20 \, \text{мм}\), поэтому \(h = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

3. Теперь мы можем определить расстояние \(r_{12}\) между зарядами \(q_1\) и \(q_2\), а также между \(q_1\) и \(q_3\), используя геометрию равностороннего треугольника. Расстояние между центром треугольника и каждой из его вершин будет равно \(h\), поэтому расстояния между центром треугольника и зарядами \(q_1\) и \(q_2\), а также \(q_1\) и \(q_3\), будут равны \(r_{12} = 2h\).

Применяя известное значение \(h = \frac{a}{\sqrt{3}}\), мы получим окончательные значения \(r_{12}\) между \(q_1\) и \(q_2\) и между \(q_1\) и \(q_3\).

4. Теперь, чтобы найти модуль скорости каждой частицы, расстояние от заряда \(q_1\), мы можем использовать закон сохранения механической энергии.
Механическая энергия системы частиц состоит из кинетической энергии каждой частицы и потенциальной энергии взаимодействия между зарядами. Изначально, когда частицы находятся на расстоянии \(r_{12}\) друг от друга, их скорости равны нулю.

Механическая энергия системы частиц, когда они находятся на расстоянии \(r\) друг от друга, определяется следующим образом:
\[E = K_1 + K_2 + U_{12}\]
где \(K_1\) и \(K_2\) - кинетическая энергия частиц \(q_1\) и \(q_2\),
\(U_{12}\) - потенциальная энергия взаимодействия между зарядами \(q_1\) и \(q_2\).

Из закона сохранения механической энергии следует, что механическая энергия системы частиц должна оставаться постоянной:
\[E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}}\]

Начальная механическая энергия системы равна нулю, поскольку частицы находятся в покое. Конечная механическая энергия системы будет состоять только из кинетической энергии каждой частицы, поскольку их расстояние сократилось до нуля.

Положив \(K_1 = \frac{1}{2} m v_1^2\) и \(K_2 = \frac{1}{2} m v_2^2\) (так как частицы имеют одинаковую массу \(m\)) и \(U_{12} = -\frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r_{12}}\) (знак минус означает отталкивание частиц), мы получаем уравнение:
\[0 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r_{12}}\]

Мы хотим найти модуль скорости каждой частицы \(v_1\) и \(v_2\) на расстоянии \(r_{12}\) от заряда \(q_1\), поэтому это уравнение позволяет нам найти эти значения.

5. Давайте рассмотрим нашу задачу практически и решим все этапы по порядку.

Для начала, расчитаем силу взаимодействия между зарядами \(q_1\) и \(q_2\):
\[F_{12} = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r_{12}^2}}\]

Затем найдем высоту равностороннего треугольника:
\[h = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{20 \, \text{мм}}{\sqrt{3}}\]

Теперь определим расстояние между зарядами:
\[r_{12} = 2h = 2 \cdot \frac{20 \, \text{мм}}{\sqrt{3}}\]

Теперь найдем модуль скорости каждой частицы на расстоянии \(r_{12}\) от заряда \(q_1\):
\[0 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r_{12}}\]

Выразим \(v_2\) через \(v_1\) и подставим значение \(r_{12}\):
\[0 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{r_{12}^2}{r_{12}^2 - 4h^2}} \cdot v_1\right)^2 - \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r_{12}}\]

Отсюда получим \(v_1\) и \(v_2\).

Пожалуйста, проработайте данное решение и выполните все вычисления. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать!