На какой картинке показано множество значений, при которых неравенство x^2-6x-27< 0 выполняется, с разъяснением?

Skolzkiy_Baron

9

Чтобы найти множество значений, при которых данное неравенство \(x^2-6x-27 < 0\) выполняется, мы должны найти значения \(x\), для которых выражение \(x^2-6x-27\) отрицательно. Давайте решим это неравенство пошагово.

1. Сначала найдем корни уравнения \(x^2-6x-27 = 0\). Для этого используем метод факторизации или квадратного уравнения. Здесь у нас имеется отрицательный коэффициент при \(x\), поэтому легче будет воспользоваться квадратным уравнением. Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c =0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты. В нашем случае \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = -27\).

2. Решим уравнение \(x^2-6x-27 = 0\) с помощью квадратного уравнения. Для этого используем формулу дискриминанта:
\[D=b^2-4ac\].

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = -27\), поэтому
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144\].

3. Поскольку дискриминант \(D = 144 > 0\), у уравнения \(x^2-6x-27 = 0\) есть два корня. Чтобы найти эти корни, воспользуемся формулой корня квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\].

Подставляем значения:
\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 12}{2}\].

4. Раскрываем скобки и находим значения корней:
\[x_1 = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9\],
\[x_2 = \frac{6 - 12}{2} = -\frac{6}{2} = -3\].

Таким образом, уравнение \(x^2-6x-27 = 0\) имеет два корня: \(x_1 = 9\) и \(x_2 = -3\).

5. Теперь определим, когда неравенство \(x^2-6x-27 < 0\) выполняется. Рассмотрим интервалы между полученными корнями и вне этих интервалов.
Мы знаем, что если квадратное уравнение имеет отрицательный коэффициент при \(x^2\) и положительный дискриминант, то парабола ветви вниз и функция отрицательна между корнями.
Таким образом, множество значений, при которых неравенство выполняется, это интервал между корнями \(x_1\) и \(x_2\), то есть \(-3 < x < 9\).

Ответ: Множество значений, при которых неравенство \(x^2-6x-27 < 0\) выполняется, - это интервал \(-3 < x < 9\).