На какой расстоянии от поверхности Земли на глубине h ускорение свободного падения равно 9,7 м/с²? При радиусе Земли

Григорьевич

11

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать закон всемирного тяготения, который утверждает, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

В данном случае, мы имеем дело с притяжением между Землей и телом, находящимся на глубине h от ее поверхности. Для ускорения свободного падения на этой глубине, мы можем использовать формулу:

\[g" = g \cdot \left( \frac{R}{R+h} \right)^2\]

где:
g - ускорение свободного падения на поверхности Земли (9,8 м/с² на полюсах),
g" - ускорение свободного падения на глубине h,
R - радиус Земли (6400 км).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[g" = 9,8 \cdot \left( \frac{6400}{6400+h} \right)^2\]

Таким образом, чтобы найти расстояние h, при котором ускорение свободного падения равно 9,7 м/с², нам необходимо решить следующее уравнение:

\[9,7 = 9,8 \cdot \left( \frac{6400}{6400+h} \right)^2\]

Теперь давайте решим это уравнение для h.

Откроем скобки и перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[9,8 \cdot \left( \frac{6400}{6400+h} \right)^2 - 9,7 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его с использованием стандартного метода решения квадратных уравнений или воспользуемся калькулятором.

\[ \left( \frac{6400}{6400+h} \right)^2 - \frac{9,7}{9,8} = 0 \]

\[ \left( \frac{6400}{6400+h} \right)^2 = \frac{9,7}{9,8} \]

\[ \frac{6400}{6400+h} = \sqrt{\frac{9,7}{9,8}} \]

Домножим обе стороны уравнения на \( \frac{6400+h}{64} \):

\[ 6400 = \sqrt{\frac{9,7}{9,8}} \cdot (6400+h) \]

\[ \frac{6400}{\sqrt{\frac{9,7}{9,8}}} = 6400 + h \]

\[ \frac{6400}{\sqrt{\frac{9,7}{9,8}}} - 6400 = h \]

\\( h \approx 3,95 \ km \\)

Таким образом, на глубине около 3,95 км от поверхности Земли, ускорение свободного падения будет равно 9,7 м/с².