На какой угол отклонится деревянный стержень после попадания пули массой 10 г, летевшей со скоростью 10 в квадрате

Южанка

17

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения момента импульса.

Момент импульса - это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость и на расстояние от оси вращения до точки приложения силы.

Изначально, деревянный стержень находится в состоянии покоя, поэтому его момент импульса равен нулю.

После попадания пули в нижний конец стержня, происходит изменение момента импульса системы, так как пуля передает свой импульс стержню.

Момент импульса пули до столкновения равен \( L_{\text{пуля}} = m_{\text{пуля}} \cdot v_{\text{пуля}} \), где \( m_{\text{пуля}} \) - масса пули, а \( v_{\text{пуля}} \) - скорость пули.

После столкновения, момент импульса системы равен сумме моментов импульса пули и стержня.

Момент импульса стержня \( L_{\text{стержень}} \) можно найти с помощью формулы \( L_{\text{стержень}} = I_{\text{стержень}} \cdot \omega \), где \( I_{\text{стержень}} \) - момент инерции стержня, а \( \omega \) - угловая скорость вращения стержня.

Момент инерции стержня относительно горизонтальной оси, проходящей через верхний конец, можно найти с помощью формулы \( I_{\text{стержень}} = \frac{1}{3} \cdot m_{\text{стержень}} \cdot L^2 \), где \( m_{\text{стержень}} \) - масса стержня, а \( L \) - длина стержня.

Таким образом, после попадания пули, момент импульса системы равен \( L_{\text{система}} = L_{\text{пуля}} + L_{\text{стержень}} \).

Закон сохранения момента импульса гласит, что момент импульса системы не изменяется (если на стержень не действуют внешние силы). Таким образом:

\[ L_{\text{пуля}} = -L_{\text{стержень}} \]

Подставляя значения, полученные ранее, получаем:

\[ m_{\text{пуля}} \cdot v_{\text{пуля}} = -\frac{1}{3} \cdot m_{\text{стержень}} \cdot L^2 \cdot \omega \]

Мы можем найти угловую скорость стержня \( \omega \), разделив обе части уравнения на \( -\frac{1}{3} \cdot m_{\text{стержень}} \cdot L^2 \):

\[ \omega = \frac{m_{\text{пуля}} \cdot v_{\text{пуля}}}{\frac{1}{3} \cdot m_{\text{стержень}} \cdot L^2} \]

Теперь мы можем найти угол, на который отклонится стержень. Поскольку угловая скорость связана с углом поворота \( \theta \) формулой \( \omega = \frac{d\theta}{dt} \), мы можем записать:

\[ d\theta = \omega \cdot dt \]

Интегрируя это уравнение, мы получаем:

\[ \theta = \int \omega \,dt \]

Подставляя значение \( \omega \), полученное ранее, и учитывая, что стержень находится в покое до попадания пули, \( t = 0 \), и время, в течение которого происходит отклонение стержня, равно времени, за которое пуля достигает нижнего конца:

\[ \theta = \int_{0}^{t} \frac{m_{\text{пуля}} \cdot v_{\text{пуля}}}{\frac{1}{3} \cdot m_{\text{стержень}} \cdot L^2} \, dt \]

Теперь, чтобы найти угол, нам нужно знать значение времени, в течение которого пуля достигает нижнего конца стержня. Для этого мы можем использовать уравнение равноускоренного движения:

\[ s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \]

Где \( s \) - расстояние, \( v_0 \) - начальная скорость (равная 0 в данном случае), \( a \) - ускорение и \( t \) - время.

Ускорение \( a \) можно найти с помощью закона Ньютона \( F = m \cdot a \), где \( F \) - сила, действующая на пулю в направлении движения.

Поскольку пуля застревает в стержне, сила имеет направление вверх, и масса, используемая в этом случае, является суммой массы пули и массы стержня, то есть \( m = m_{\text{пуля}} + m_{\text{стержень}} \).

Теперь мы можем записать уравнение:

\[ F = (m_{\text{пуля}} + m_{\text{стержень}}) \cdot a \]

\[ a = \frac{F}{m_{\text{пуля}} + m_{\text{стержень}}} \]

Сила \( F \) можно найти как изменение импульса пули:

\[ F = \Delta p = m_{\text{пуля}} \cdot \Delta v \]

В начальный момент времени пуля движется со скоростью 10 м/с, а в конечный момент времени ее скорость равна нулю (поскольку она застряла в стержне):

\[ \Delta v = 0 - 10 \]

Подставляя все значения, мы можем найти ускорение \( a \).

Теперь мы можем найти время \( t \), используя уравнение начальной скорости и ускорения:

\[ v = v_0 + a \cdot t \]

Поскольку конечная скорость в данном случае равна 0:

\[ 0 = 10 + a \cdot t \]

\[ t = \frac{-v_0}{a} \]

Подставляя значения, мы можем найти время \( t \).

Наконец, подставляя значение времени в интеграл, мы можем найти угол, на который отклонится стержень.