На какой угол отклонится деревянный стержень после попадания пули массой 10 г, летевшей со скоростью 10 в квадрате

Южанка

17

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения момента импульса.

Момент импульса - это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость и на расстояние от оси вращения до точки приложения силы.

Изначально, деревянный стержень находится в состоянии покоя, поэтому его момент импульса равен нулю.

После попадания пули в нижний конец стержня, происходит изменение момента импульса системы, так как пуля передает свой импульс стержню.

Момент импульса пули до столкновения равен $L_{\text{пуля}}=m_{\text{пуля}}\cdot v_{\text{пуля}}$, где $m_{\text{пуля}}$ - масса пули, а $v_{\text{пуля}}$ - скорость пули.

После столкновения, момент импульса системы равен сумме моментов импульса пули и стержня.

Момент импульса стержня $L_{\text{стержень}}$ можно найти с помощью формулы $L_{\text{стержень}}=I_{\text{стержень}}\cdot \omega$, где $I_{\text{стержень}}$ - момент инерции стержня, а $\omega$ - угловая скорость вращения стержня.

Момент инерции стержня относительно горизонтальной оси, проходящей через верхний конец, можно найти с помощью формулы $I_{\text{стержень}}=\frac{1}{3}\cdot m_{\text{стержень}}\cdot L^2$, где $m_{\text{стержень}}$ - масса стержня, а $L$ - длина стержня.

Таким образом, после попадания пули, момент импульса системы равен $L_{\text{система}}=L_{\text{пуля}}+L_{\text{стержень}}$.

Закон сохранения момента импульса гласит, что момент импульса системы не изменяется (если на стержень не действуют внешние силы). Таким образом:

$$L_{\text{пуля}}=-L_{\text{стержень}}$$

Подставляя значения, полученные ранее, получаем:

$$m_{\text{пуля}}\cdot v_{\text{пуля}}=-\frac{1}{3}\cdot m_{\text{стержень}}\cdot L^2\cdot \omega$$

Мы можем найти угловую скорость стержня $\omega$, разделив обе части уравнения на $-\frac{1}{3}\cdot m_{\text{стержень}}\cdot L^2$:

$$\omega =\frac{m_{\text{пуля}}\cdot v_{\text{пуля}}}{\frac{1}{3}\cdot m_{\text{стержень}}\cdot L^2}$$

Теперь мы можем найти угол, на который отклонится стержень. Поскольку угловая скорость связана с углом поворота $\theta$ формулой $\omega =\frac{d\theta }{dt}$, мы можем записать:

$$d\theta =\omega \cdot dt$$

Интегрируя это уравнение, мы получаем:

$$\theta =\int \omega dt$$

Подставляя значение $\omega$, полученное ранее, и учитывая, что стержень находится в покое до попадания пули, $t=0$, и время, в течение которого происходит отклонение стержня, равно времени, за которое пуля достигает нижнего конца:

$$\theta ={\int }_0^t\frac{m_{\text{пуля}}\cdot v_{\text{пуля}}}{\frac{1}{3}\cdot m_{\text{стержень}}\cdot L^2}dt$$

Теперь, чтобы найти угол, нам нужно знать значение времени, в течение которого пуля достигает нижнего конца стержня. Для этого мы можем использовать уравнение равноускоренного движения:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Где $s$ - расстояние, $v_0$ - начальная скорость (равная 0 в данном случае), $a$ - ускорение и $t$ - время.

Ускорение $a$ можно найти с помощью закона Ньютона $F=m\cdot a$, где $F$ - сила, действующая на пулю в направлении движения.

Поскольку пуля застревает в стержне, сила имеет направление вверх, и масса, используемая в этом случае, является суммой массы пули и массы стержня, то есть $m=m_{\text{пуля}}+m_{\text{стержень}}$.

Теперь мы можем записать уравнение:

$$F=(m_{\text{пуля}}+m_{\text{стержень}})\cdot a$$

$$a=\frac{F}{m_{\text{пуля}}+m_{\text{стержень}}}$$

Сила $F$ можно найти как изменение импульса пули:

$$F=\mathrm{\Delta }p=m_{\text{пуля}}\cdot \mathrm{\Delta }v$$

В начальный момент времени пуля движется со скоростью 10 м/с, а в конечный момент времени ее скорость равна нулю (поскольку она застряла в стержне):

$$\mathrm{\Delta }v=0-10$$

Подставляя все значения, мы можем найти ускорение $a$.

Теперь мы можем найти время $t$, используя уравнение начальной скорости и ускорения:

$$v=v_0+a\cdot t$$

Поскольку конечная скорость в данном случае равна 0:

$$0=10+a\cdot t$$

$$t=\frac{-v_0}{a}$$

Подставляя значения, мы можем найти время $t$.

Наконец, подставляя значение времени в интеграл, мы можем найти угол, на который отклонится стержень.